Вычисли стороны и площадь прямоугольника, если его диагональ равна 5 /3 см и образует с большей стороной угол 30 градусов. Ответ: большая сторона равна см; меньшая сторона равна…

Для решения задачи о прямоугольнике с заданной диагональю и углом, давайте разберемся по шагам.

Дано:

• Длина диагонали прямоугольника \( d = \frac{5}{3} \) см
• Угол между диагональю и большей стороной \( \alpha = 30^\circ \)

Найдем стороны прямоугольника:

1. Обозначим стороны прямоугольника:

   • Пусть большая сторона \( a \).
   • Пусть меньшая сторона \( b \).

2. Связь диагонали и сторон: Согласно теореме Пифагора, для прямоугольника выполняется следующее уравнение: \[ d^2 = a^2 + b^2 \] Это значит, что диагональ равна квадратному корню из суммы квадратов его сторон.

3. Определим стороны через угол: Изгиб диагонали к сторонам дает следующие выражения: \[ a = d \cdot \cos(\alpha) \] \[ b = d \cdot \sin(\alpha) \]

   Поскольку угол \( \alpha = 30^\circ \): \[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \]

4. Подставим значения и найдем стороны:

   • Для большей стороны \( a \): \[ a = d \cdot \cos(30^\circ) = \frac{5}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{6} \text{ см} \]

   • Для меньшей стороны \( b \): \[ b = d \cdot \sin(30^\circ) = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6} \text{ см} \]

Площадь прямоугольника:

5. Площадь \( S \) прямоугольника вычисляется как: \[ S = a \cdot b \] Подставим найденные значения: \[ S = \left(\frac{5\sqrt{3}}{6}\right) \cdot \left(\frac{5}{6}\right) = \frac{25\sqrt{3}}{36} \text{ см}^2 \]

Ответ:

• Большая сторона \( a \) равна \( \frac{5\sqrt{3}}{6} \) см.
• Меньшая сторона \( b \) равна \( \frac{5}{6} \) см.
• Площадь прямоугольника \( S \) равна \( \frac{25\sqrt{3}}{36} \) см².