В основании пирамиды  S M N P SMNP лежит правильный треугольник  M N P MNP со стороной  4 4, а боковое ребро  S M SM перпендикулярно основанию и равно  13 3 13 3 ​ . Найди объём пирамиды  S M N P SMNP.

Чтобы найти объём пирамиды \( SMNP \) с основанием \( MNP \), нам нужно использовать формулу для объёма пирамиды, которая выглядит так: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \] где: - \( V \) — объем пирамиды, - \( S_{осн} \) — площадь основания, - \( h \) — высота пирамиды. ### Шаг 1: Найдём площадь основания треугольника \( MNP \) Поскольку треугольник \( MNP \) является правильным (равносторонним), его площадь можно найти по формуле: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] где \( a \) — длина стороны треугольника. В нашем случае \( a = 4 \). Подставим это значение: \[ S_{MNP} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3} \] ### Шаг 2: Найдём высоту пирамиды Высота пирамиды \( SMNP \) равна длине бокового ребра \( SM \), которое перпендикулярно основанию \( MNP \). Из условия задачи известно, что: \[ h = SM = 13 \] ### Шаг 3: Подставим значения в формулу для объёма Теперь мы можем подставить значения площади основания и высоты в формулу для объёма: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{MNP} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (4 \sqrt{3}) \cdot 13 \] ### Шаг 4: Упростим выражение Выполним расчёты: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 13 \cdot \sqrt{3} = \frac{52 \sqrt{3}}{3} \] ### Ответ Таким образом, объём пирамиды \( SMNP \) равен: \[ V = \frac{52 \sqrt{3}}{3} \]