В основании пирамиды S M N P SMNP лежит правильный треугольник M N P MNP со стороной 4 4 , а боковое ребро S M SM перпендикулярно основанию и равно 13 3 13 3 ​ . Найди объём…

Чтобы найти объём пирамиды \( SMNP \) с основанием \( MNP \), нам нужно использовать формулу для объёма пирамиды, которая выглядит так:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \]

где:

• \( V \) — объем пирамиды,
• \( S_{осн} \) — площадь основания,
• \( h \) — высота пирамиды.

Шаг 1: Найдём площадь основания треугольника \( MNP \)

Поскольку треугольник \( MNP \) является правильным (равносторонним), его площадь можно найти по формуле:

\[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]

где \( a \) — длина стороны треугольника.

В нашем случае \( a = 4 \). Подставим это значение:

\[ S_{MNP} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3} \]

Шаг 2: Найдём высоту пирамиды

Высота пирамиды \( SMNP \) равна длине бокового ребра \( SM \), которое перпендикулярно основанию \( MNP \). Из условия задачи известно, что:

\[ h = SM = 13 \]

Шаг 3: Подставим значения в формулу для объёма

Теперь мы можем подставить значения площади основания и высоты в формулу для объёма:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{MNP} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (4 \sqrt{3}) \cdot 13 \]

Шаг 4: Упростим выражение

Выполним расчёты:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 13 \cdot \sqrt{3} = \frac{52 \sqrt{3}}{3} \]

Ответ

Таким образом, объём пирамиды \( SMNP \) равен:

\[ V = \frac{52 \sqrt{3}}{3} \]