Сумма двух натуральных чисел равна 28, а сумма квадратов этих чисел равна 394. Найдите эти числа. В ответе укажите найденные числа без пробелов в порядке возрастания.
Давайте решим задачу, шаг за шагом. Нам нужно найти два натуральных числа \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют следующим условиям:
- \(x + y = 28\)
- \(x^2 + y^2 = 394\)
Шаг 1: Выразим одно число через другое.
Из первого уравнения можем выразить \(y\) через \(x\):
\[ y = 28 - x \]
Шаг 2: Подставим выражение для \(y\) во второе уравнение.
Теперь подставим \(y\) во второе уравнение:
\[ x^2 + (28 - x)^2 = 394 \]
Шаг 3: Раскроем скобки.
Теперь раскроем скобки:
\[ x^2 + (28^2 - 56x + x^2) = 394 \]
28 в квадрате равно 784, следовательно:
\[ x^2 + (784 - 56x + x^2) = 394 \]
Соберем все вместе:
\[ 2x^2 - 56x + 784 = 394 \]
Шаг 4: Упростим уравнение.
Переносим 394 в левую часть уравнения:
\[ 2x^2 - 56x + 784 - 394 = 0 \] \[ 2x^2 - 56x + 390 = 0 \]
Шаг 5: Упростим уравнение, разделив на 2.
Сделаем это уравнение проще, разделив все его коэффициенты на 2:
\[ x^2 - 28x + 195 = 0 \]
Шаг 6: Найдем дискриминант.
Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 195 = 784 - 780 = 4 \]
Шаг 7: Найдем корни уравнения.
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 \pm 2}{2} = \frac{30}{2} \text{ или } \frac{26}{2} \]
Получаем:
\[ x_1 = 15 \quad \text{и} \quad x_2 = 13 \]
Шаг 8: Определим значения \(x\) и \(y\).
Так как мы выразили \(y\) через \(x\):
Если \(x = 15\):
\[ y = 28 - 15 = 13 \]
Если \(x = 13\):
\[ y = 28 - 13 = 15 \]
Мы нашли два числа: 15 и 13.
Шаг 9: Запишите ответ. Поскольку нужно указать найденные числа в порядке возрастания, итоговый ответ будет:
Ответ: 1315
