Какое равенство справедливо для любых чисел m и n и любых векторов s и t→?
Для любых чисел \( m \) и \( n \) и любых векторов \( \mathbf{s} \) и \( \mathbf{t} \) справедливо следующее равенство:
\[ m(\mathbf{s} + \mathbf{t}) = m\mathbf{s} + m\mathbf{t} \]
Это свойство называется распределительным свойством умножения относительно сложения. Давайте разберем его по шагам.
Объяснение:
Определение векторов: Векторы \( \mathbf{s} \) и \( \mathbf{t} \) могут быть представлены как наборы чисел (например, координат). Например, двумерный вектор \( \mathbf{s} = (s_1, s_2) \) и \( \mathbf{t} = (t_1, t_2) \).
Сложение векторов: Сложение векторов осуществляется поэлементно: \[ \mathbf{s} + \mathbf{t} = (s_1 + t_1, s_2 + t_2) \]
Умножение векторов на число: Когда вектор умножается на число \( m \), каждую компоненту вектора умножают на это число: \[ m\mathbf{s} = (ms_1, ms_2) \] \[ m\mathbf{t} = (mt_1, mt_2) \]
Распределительное свойство: Теперь применим распределительное свойство к сложению: \[ m(\mathbf{s} + \mathbf{t}) = m(s_1 + t_1, s_2 + t_2) = (m(s_1 + t_1), m(s_2 + t_2)) = (ms_1 + mt_1, ms_2 + mt_2) \]
Сравнение результатов: Мы можем видеть, что результат умножения вектора \( \mathbf{s} + \mathbf{t} \) на число \( m \) равен сумме векторов \( m\mathbf{s} + m\mathbf{t} \): \[ m(\mathbf{s} + \mathbf{t}) = (ms_1 + mt_1, ms_2 + mt_2) = m\mathbf{s} + m\mathbf{t} \]
Итог:
Таким образом, равенство \( m(\mathbf{s} + \mathbf{t}) = m\mathbf{s} + m\mathbf{t} \) справедливо для любых чисел \( m \) и \( n \), а также для любых векторов \( \mathbf{s} \) и \( \mathbf{t} \).
