Укажите cистему неравенств с двумя переменными. Определите пары чисел, которые являются решениями этой системы неравенств. \(\begin{cases} (x+2)(x-3)>0,\\…

Для данной задачи мы разберем систему неравенств с двумя переменными, представленной в задании. Поскольку не указаны конкретные предмет и класс, мы будем использовать подход, подходящий для средней школы.

Сначала проанализируем каждую из предполагаемых систем неравенств и определим, какие из них имеют решение. Затем мы проверим предложенные пары чисел на соответствие условиям этих неравенств.

Система 1

\[ \begin{cases} (x+2)(x-3) > 0 \\ 2(x+5) - 3(x-7) < 6 \end{cases} \]

1. Первое неравенство: \((x+2)(x-3) > 0\)

   Мы найдем корни этого неравенства: \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\) и \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\).

   Изучаем знак произведения на интервале между корнями и вне их:

   • \(x < -2\) (оба множителя отрицательные) \(\Rightarrow\) результат положительный.
   • \(-2 < x < 3\) (множитель \((x+2)\) положительный, а \((x-3)\) отрицательный) \(\Rightarrow\) результат отрицательный.
   • \(x > 3\) (оба множителя положительные) \(\Rightarrow\) результат положительный.

   Таким образом, решение: \(x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)\).

2. Второе неравенство: \(2(x + 5) - 3(x - 7) < 6\)

   Раскроем скобки: \[ 2x + 10 - 3x + 21 < 6 \Rightarrow -x + 31 < 6 \Rightarrow -x < -25 \Rightarrow x > 25 \]

Теперь мы объединяем два условия:

• Первое неравенство: \(x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)\)
• Второе неравенство: \(x > 25\)

Общее решение: \(x > 25\).

Система 2

\[ \begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ x^2 \ge x + 2 \end{cases} \]

1. Первое неравенство: \(x + 2 \ge 0\) \(\Rightarrow x \ge -2\).

2. Второе неравенство: \(x^2 - x - 2 \ge 0\).

   Находим корни: \[ x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ или } x = -1 \] Анализируем знак:

   • \(x < -1\): оба множителя отрицательные \(\Rightarrow\) результат положительный.
   • \(-1 < x < 2\) (один отрицательный, один положительный) \(\Rightarrow\) результат отрицательный.
   • \(x > 2\): оба множителя положительные \(\Rightarrow\) результат положительный.

   Таким образом, решение: \(x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)\).

Объединяем условия:

• \(x \ge -2\) и \(x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)\) значит, необходимо учитывать, что:
  • При \(x \in (-\infty, -1]\), \(x\) должен быть >= -2.
  • При \(x \ge 2\), оно подходит к условию.

Общее решение: \(x \in [-2, -1] \cup [2, +\infty)\).

Система 3

\[ \begin{cases} 10 - 3x > x^2 \\ 2.5 > x^2 \end{cases} \]

1. Первое неравенство: \(10 - 3x > x^2\) \(\Rightarrow x^2 + 3x - 10 < 0\).

   Найдём корни: \[ x^2 + 3x - 10 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 5) = 0 \Rightarrow x = 2, x = -5 \] Анализируем знаки:

   • \(x < -5\): оба множителя отрицательные \(\Rightarrow\) результат положительный.
   • \(-5 < x < 2\): один отрицательный, другой положительный \(\Rightarrow\) результат отрицательный.
   • \(x > 2\): оба положительные \(\Rightarrow\) результат положительный.

   Решение: \(x \in (-5, 2)\).

2. Второе неравенство: \(2.5 > x^2\) \(\Rightarrow |x| < \sqrt{2.5}\) \(\Rightarrow -\sqrt{2.5} < x < \sqrt{2.5}\).

Объединяем условия:

• \(x \in (-5, 2)\).
• \(x \in (-\sqrt{2.5}, \sqrt{2.5})\).

Общее решение: \(x \in (-\sqrt{2.5}, 2)\).

Система 4

\[ \begin{cases} xy > -6 \\ x^2 - xy - 2x^2 < 6 \end{cases} \]

1. Первое неравенство: \(xy > -6\).

2. Второе неравенство: \(-xy - x^2 < 6\) \(\Rightarrow x^2 + xy + 6 > 0\).

В данной системе нужно использовать разные подходы к нахождению реальных значений переменных.

Рассматриваем пары чисел

1. \((2, -1)\):

   • \(2(-1) > -6 \) - верно.
   • \(2^2 - 2(-1) - 2(2^2) < 6 \Rightarrow 4 + 2 - 8 < 6 \Rightarrow -2 < 6\) - верно.

2. \((2, -6)\):

   • \(2(-6) > -6\) - не верно.

3. \((-6, 1)\):

   • \((-6)(1) > -6\) - не верно.

4. \((2, 1)\):

   • \((2)(1) > -6\) - верно.
   • \(4 - 2 < 6\) - верно.

5. \((-6, 2)\):

   • \((-6)(2) > -6\) - не верно.

Таким образом, решениями системы могут быть пары чисел: \((2, -1)\) и \((2, 1)\).