Укажите cистему неравенств с двумя переменными. Определите пары чисел, которые являются решениями этой системы неравенств. \(\begin{cases} (x+2)(x-3)>0,\\ 2(x+5)-3(x-7)<6.\end{cases}\) \(\begin{cases} x+2\ge0,\\ x^2\ge x+2.\end{cases}\) \(\begin{cases} 10-3x>x^2,\\ 2,5>x^2.\end{cases}\) \(\begin{cases} xy>-6,\\ x^2-xy-2x^2<6.\end{cases}\) \((-6;-1)\) Cистема неравенств с двумя переменными. \((2;-1)\) \((2;-6)\) \((-6;1)\) \((2;1)\) \((-6;2)\)
Для данной задачи мы разберем систему неравенств с двумя переменными, представленной в задании. Поскольку не указаны конкретные предмет и класс, мы будем использовать подход, подходящий для средней школы.
Сначала проанализируем каждую из предполагаемых систем неравенств и определим, какие из них имеют решение. Затем мы проверим предложенные пары чисел на соответствие условиям этих неравенств.
### Система 1
\[
\begin{cases}
(x+2)(x-3) > 0 \\
2(x+5) - 3(x-7) < 6
\end{cases}
\]
1. **Первое неравенство:** \((x+2)(x-3) > 0\)
Мы найдем корни этого неравенства: \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\) и \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\).
Изучаем знак произведения на интервале между корнями и вне их:
- \(x < -2\) (оба множителя отрицательные) \(\Rightarrow\) результат положительный.
- \(-2 < x < 3\) (множитель \((x+2)\) положительный, а \((x-3)\) отрицательный) \(\Rightarrow\) результат отрицательный.
- \(x > 3\) (оба множителя положительные) \(\Rightarrow\) результат положительный.
Таким образом, решение: \(x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)\).
2. **Второе неравенство:** \(2(x + 5) - 3(x - 7) < 6\)
Раскроем скобки:
\[
2x + 10 - 3x + 21 < 6 \Rightarrow -x + 31 < 6 \Rightarrow -x < -25 \Rightarrow x > 25
\]
Теперь мы объединяем два условия:
- Первое неравенство: \(x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)\)
- Второе неравенство: \(x > 25\)
Общее решение: \(x > 25\).
### Система 2
\[
\begin{cases}
x + 2 \ge 0 \\
x^2 \ge x + 2
\end{cases}
\]
1. **Первое неравенство:** \(x + 2 \ge 0\) \(\Rightarrow x \ge -2\).
2. **Второе неравенство:** \(x^2 - x - 2 \ge 0\).
Находим корни:
\[
x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ или } x = -1
\]
Анализируем знак:
- \(x < -1\): оба множителя отрицательные \(\Rightarrow\) результат положительный.
- \(-1 < x < 2\) (один отрицательный, один положительный) \(\Rightarrow\) результат отрицательный.
- \(x > 2\): оба множителя положительные \(\Rightarrow\) результат положительный.
Таким образом, решение: \(x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)\).
Объединяем условия:
- \(x \ge -2\) и \(x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)\) значит, необходимо учитывать, что:
- При \(x \in (-\infty, -1]\), \(x\) должен быть >= -2.
- При \(x \ge 2\), оно подходит к условию.
Общее решение: \(x \in [-2, -1] \cup [2, +\infty)\).
### Система 3
\[
\begin{cases}
10 - 3x > x^2 \\
2.5 > x^2
\end{cases}
\]
1. **Первое неравенство:** \(10 - 3x > x^2\) \(\Rightarrow x^2 + 3x - 10 < 0\).
Найдём корни:
\[
x^2 + 3x - 10 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 5) = 0 \Rightarrow x = 2, x = -5
\]
Анализируем знаки:
- \(x < -5\): оба множителя отрицательные \(\Rightarrow\) результат положительный.
- \(-5 < x < 2\): один отрицательный, другой положительный \(\Rightarrow\) результат отрицательный.
- \(x > 2\): оба положительные \(\Rightarrow\) результат положительный.
Решение: \(x \in (-5, 2)\).
2. **Второе неравенство:** \(2.5 > x^2\) \(\Rightarrow |x| < \sqrt{2.5}\) \(\Rightarrow -\sqrt{2.5} < x < \sqrt{2.5}\).
Объединяем условия:
- \(x \in (-5, 2)\).
- \(x \in (-\sqrt{2.5}, \sqrt{2.5})\).
Общее решение: \(x \in (-\sqrt{2.5}, 2)\).
### Система 4
\[
\begin{cases}
xy > -6 \\
x^2 - xy - 2x^2 < 6
\end{cases}
\]
1. **Первое неравенство:** \(xy > -6\).
2. **Второе неравенство:** \(-xy - x^2 < 6\) \(\Rightarrow x^2 + xy + 6 > 0\).
В данной системе нужно использовать разные подходы к нахождению реальных значений переменных.
### Рассматриваем пары чисел
1. **\((2, -1)\)**:
- \(2(-1) > -6 \) - верно.
- \(2^2 - 2(-1) - 2(2^2) < 6 \Rightarrow 4 + 2 - 8 < 6 \Rightarrow -2 < 6\) - верно.
2. **\((2, -6)\)**:
- \(2(-6) > -6\) - не верно.
3. **\((-6, 1)\)**:
- \((-6)(1) > -6\) - не верно.
4. **\((2, 1)\)**:
- \((2)(1) > -6\) - верно.
- \(4 - 2 < 6\) - верно.
5. **\((-6, 2)\)**:
- \((-6)(2) > -6\) - не верно.
Таким образом, решениями системы могут быть пары чисел: \((2, -1)\) и \((2, 1)\).
