Для определения дисперсии веса изделий нам необходимо сначала найти средний вес, а затем воспользоваться формулой для дисперсии. Давайте решим эту задачу пошагово.
Шаг 1: Определим средний вес
Для этого мы воспользуемся методом взвешенного среднего. Мы вычислим вес группы деталей, зная их численность и процент бракованных изделий. Сначала находим вес каждой группы:
Определяем средний вес каждой группы:
- Для группы "До 1800 г":
- Средний вес = (0 + 1800) / 2 = 900 г
- Для группы "1800-1850 г":
- Средний вес = (1800 + 1850) / 2 = 1825 г
- Для группы "1850-1900 г":
- Средний вес = (1850 + 1900) / 2 = 1875 г
- Для группы "1900-1950 г":
- Средний вес = (1900 + 1950) / 2 = 1925 г
Рассчитаем общее количество изделий и найденные средние веса с учетом их числа:
- (n_i) — количество изделий в каждой группе.
- (w_i) — средний вес в каждой группе.
Теперь мы можем рассчитать общий вес для каждой группы:
| Группа деталей по весу |
Число изделий (n_i) |
Средний вес (w_i) |
Доля бракованных (%) |
| До 1800 |
250 |
900 |
5,0 |
| 1800-1850 |
350 |
1825 |
4,5 |
| 1850-1900 |
1000 |
1875 |
3,0 |
| 1900-1950 |
400 |
1925 |
4,0 |
Шаг 2: Взвешиваем средний вес
Теперь мы можем вычислить средний вес изделий, помножив количество изделий в каждой группе на их средний вес и сложив результаты:
[
\text{Сумма весов} = (250 \times 900) + (350 \times 1825) + (1000 \times 1875) + (400 \times 1925)
]
- Сумма весов:
- Для первой группы: (250 \times 900 = 225000)
- Для второй группы: (350 \times 1825 = 638750)
- Для третьей группы: (1000 \times 1875 = 1875000)
- Для четвертой группы: (400 \times 1925 = 770000)
Теперь подводим итог:
[
\text{Сумма весов} = 225000 + 638750 + 1875000 + 770000 = 3353750
]
Теперь, чтобы найти средний вес по всем 2000 изделиям, делим на общее число изделий:
[
\text{Средний вес} = \frac{\text{Сумма весов}}{2000} = \frac{3353750}{2000} = 1676,875 \text{ г}
]
Шаг 3: Определяем дисперсию веса
Теперь, для дисперсии нам необходимо использовать формулу:
[
D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot n_i}{N}
]
где (x_i) - средний вес группы, (\bar{x}) - общий средний вес, и (n_i) - число изделий в каждой группе.
Вычислим дисперсию для каждой группы:
Для первой группы (До 1800 г):
[
(900 - 1676,875)^2 \cdot 250 = ( -776,875)^2 \cdot 250 \approx 150801782,6
]
Для второй группы (1800-1850 г):
[
(1825 - 1676,875)^2 \cdot 350 \approx (148,125)^2 \cdot 350 \approx 7726,017 \cdot 350 \approx 27073,807
]
Для третьей группы (1850-1900 г):
[
(1875 - 1676,875)^2 \cdot 1000 \approx (198,125)^2 \cdot 1000 \approx 39250,748 \cdot 1000 \approx 39250748
]
Для четвертой группы (1900-1950 г):
[
(1925 - 1676,875)^2 \cdot 400 \approx (248,125)^2 \cdot 400 \approx 615 06,641 \cdot 400 \approx 246024656,3
]
Теперь мы суммируем все найденные значения:
[
D = \frac{150801782,6 + 27073,807 + 39250748 + 246024656,3}{2000}
]
Шаг 4: Подсчитываем итоговую дисперсию
Теперь вычислим:
- Сумма = (150801782,6 + 27073,807 + 39250748 + 246024656,3 \approx 421575260,707)
- Дисперсия:
[
D \approx \frac{421575260,707}{2000} \approx 210787,63
]
Ответ
Таким образом, дисперсия веса изделий составляет approximately 210787,63 г.
