С целью изучения качества произведенной продукции из 25000 изделий методом случайного бесповторного отбора обследовано 2000 деталей. По результатам выборки получены следующие…

Для определения дисперсии веса изделий нам необходимо сначала найти средний вес, а затем воспользоваться формулой для дисперсии. Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Определим средний вес

Для этого мы воспользуемся методом взвешенного среднего. Мы вычислим вес группы деталей, зная их численность и процент бракованных изделий. Сначала находим вес каждой группы:

1. Определяем средний вес каждой группы:

   • Для группы "До 1800 г":
     • Средний вес = (0 + 1800) / 2 = 900 г
   • Для группы "1800-1850 г":
     • Средний вес = (1800 + 1850) / 2 = 1825 г
   • Для группы "1850-1900 г":
     • Средний вес = (1850 + 1900) / 2 = 1875 г
   • Для группы "1900-1950 г":
     • Средний вес = (1900 + 1950) / 2 = 1925 г

2. Рассчитаем общее количество изделий и найденные средние веса с учетом их числа:

   • \(n_i\) — количество изделий в каждой группе.
   • \(w_i\) — средний вес в каждой группе.

Теперь мы можем рассчитать общий вес для каждой группы:

Шаг 2: Взвешиваем средний вес

Теперь мы можем вычислить средний вес изделий, помножив количество изделий в каждой группе на их средний вес и сложив результаты:

\[ \text{Сумма весов} = (250 \times 900) + (350 \times 1825) + (1000 \times 1875) + (400 \times 1925) \]

• Сумма весов:
  • Для первой группы: \(250 \times 900 = 225000\)
  • Для второй группы: \(350 \times 1825 = 638750\)
  • Для третьей группы: \(1000 \times 1875 = 1875000\)
  • Для четвертой группы: \(400 \times 1925 = 770000\)

Теперь подводим итог:

\[ \text{Сумма весов} = 225000 + 638750 + 1875000 + 770000 = 3353750 \]

Теперь, чтобы найти средний вес по всем 2000 изделиям, делим на общее число изделий:

\[ \text{Средний вес} = \frac{\text{Сумма весов}}{2000} = \frac{3353750}{2000} = 1676,875 \text{ г} \]

Шаг 3: Определяем дисперсию веса

Теперь, для дисперсии нам необходимо использовать формулу:

\[ D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot n_i}{N} \]

где \(x_i\) - средний вес группы, \(\bar{x}\) - общий средний вес, и \(n_i\) - число изделий в каждой группе.

Вычислим дисперсию для каждой группы:

1. Для первой группы (До 1800 г): \[ (900 - 1676,875)^2 \cdot 250 = ( -776,875)^2 \cdot 250 \approx 150801782,6 \]

2. Для второй группы (1800-1850 г): \[ (1825 - 1676,875)^2 \cdot 350 \approx (148,125)^2 \cdot 350 \approx 7726,017 \cdot 350 \approx 27073,807 \]

3. Для третьей группы (1850-1900 г): \[ (1875 - 1676,875)^2 \cdot 1000 \approx (198,125)^2 \cdot 1000 \approx 39250,748 \cdot 1000 \approx 39250748 \]

4. Для четвертой группы (1900-1950 г): \[ (1925 - 1676,875)^2 \cdot 400 \approx (248,125)^2 \cdot 400 \approx 615 06,641 \cdot 400 \approx 246024656,3 \]

Теперь мы суммируем все найденные значения:

\[ D = \frac{150801782,6 + 27073,807 + 39250748 + 246024656,3}{2000} \]

Шаг 4: Подсчитываем итоговую дисперсию

Теперь вычислим:

1. Сумма = \(150801782,6 + 27073,807 + 39250748 + 246024656,3 \approx 421575260,707\)
2. Дисперсия: \[ D \approx \frac{421575260,707}{2000} \approx 210787,63 \]

Ответ

Таким образом, дисперсия веса изделий составляет approximately 210787,63 г.