4) За 3ч против течения реки лодка проплыла на 5.1 см больше, чем да 2ч по течению. Скорость лодки против течения составляет 0,75 её скорости по течению. Какое расстояние прошла…

Задача 4: Движение лодки против и со течением реки

Дано:

• Время против течения: \(t_1 = 3\) ч
• Время по течению: \(t_2 = 2\) ч
• Расстояние против течения на 5.1 см больше, чем по течению.
• Скорость лодки против течения составляет 0.75 её скорости по течению.

Обозначим:

• Скорость лодки по течению \(v\).
• Скорость лодки против течения \(v_{пр} = 0.75v\).

Расстояние:

• Расстояние, проплытое по течению: \(S_2 = v \cdot t_2 = v \cdot 2\).
• Расстояние, проплытое против течения: \(S_1 = v_{пр} \cdot t_1 = 0.75v \cdot 3 = 2.25v\).

По условию задачи: \[ S_1 = S_2 + 5.1 \] Подставим расстояния: \[ 2.25v = 2v + 5.1 \]

Решим уравнение:

1. Переносим \(2v\) влево: \[ 2.25v - 2v = 5.1 \] \[ 0.25v = 5.1 \]

2. Делим обе стороны на 0.25: \[ v = \frac{5.1}{0.25} = 20.4 \text{ (км/ч)} \]

Теперь находим расстояние, прошедшее лодка за 2 часа по течению: \[ S_2 = v \cdot t_2 = 20.4 \cdot 2 = 40.8 \text{ км} \]

Теперь находим расстояние, прошедшее лодка против течения: \[ S_1 = S_2 + 5.1 = 40.8 + 5.1 = 45.9 \text{ км} \]

Ответ: Лодка прошла 40.8 км по течению и 45.9 км против течения.

Задача 5: Покупка билетов в театр

Дано:

• Всего билетов: 30
• Цена билета 1: 1000 руб
• Цена билета 2: 1500 руб
• Общая сумма: 39000 руб

Обозначим:

• Количество билетов по 1000 руб: \(x\)
• Количество билетов по 1500 руб: \(y\)

Систему уравнений можно выразить так:

1. \(x + y = 30\) (всего билетов)
2. \(1000x + 1500y = 39000\) (общая сумма)

Решим систему уравнений:

Из первого уравнения выразим \(y\): \[ y = 30 - x \]

Теперь подставим \(y\) во второе уравнение: \[ 1000x + 1500(30 - x) = 39000 \]

Распределим и решим: \[ 1000x + 45000 - 1500x = 39000 \] \[ -500x + 45000 = 39000 \]

Теперь перенесем 45000 вправо: \[ -500x = 39000 - 45000 \] \[ -500x = -6000 \]

Делим обе стороны на -500: \[ x = \frac{-6000}{-500} = 12 \]

Теперь подставим значение \(x\) в выражение для \(y\): \[ y = 30 - 12 = 18 \]

Ответ: Купили 12 билетов по 1000 руб и 18 билетов по 1500 руб.