Диск радиусом 0,2 м вращается согласно уравнению: φ=А+В×t+C×t3 (рад), где В=-1 рад/с, С=0,1 рад/с3. Найти для точек на ободе диска в момент времени t=10 c: тангенциальное…

Для решения задачи нужно определить угловую скорость, тангенциальное и нормальное ускорение диска в момент времени t = 10 секунд. У нас есть уравнение вращения:

\[ \phi = A + B \cdot t + C \cdot t^3 \]

где

• \( B = -1 \) рад/с,
• \( C = 0.1 \) рад/с³.

1. Определение угловой скорости \( \omega \)

Угловая скорость — это производная угла поворота по времени:

\[ \omega = \frac{d\phi}{dt} \]

Из уравнения вращения находим производную:

\[ \frac{d\phi}{dt} = 0 + B + 3Ct^2 \]

Подставим значения \( B \) и \( C \):

\[ \omega = -1 + 3 \cdot 0.1 \cdot t^2 \]

Теперь подставим \( t = 10 \):

\[ \omega = -1 + 3 \cdot 0.1 \cdot 10^2 \] \[ \omega = -1 + 3 \cdot 0.1 \cdot 100 \] \[ \omega = -1 + 30 = 29 \text{ рад/с} \]

2. Определение тангенциального ускорения \( a_t \)

Тангенциальное ускорение связано с изменением угловой скорости во времени:

\[ a_t = r \cdot \alpha \]

где \( \alpha \) — угловое ускорение. Угловое ускорение — это производная угловой скорости:

\[ \alpha = \frac{d\omega}{dt} \]

Применим к выражению для угловой скорости:

\[ \alpha = 0 + 0 + 6Ct = 6 \cdot 0.1 \cdot t \] \[ \alpha = 0.6t \]

Теперь подставляем \( t = 10 \):

\[ \alpha = 0.6 \cdot 10 = 6 \text{ рад/с}^2 \]

Теперь найдем тангенциальное ускорение, используя радиус \( r = 0.2 \) м:

\[ a_t = r \cdot \alpha = 0.2 \cdot 6 = 1.2 \text{ м/с}^2 \]

3. Определение нормального ускорения \( a_n \)

Нормальное ускорение можно найти по формуле:

\[ a_n = r \cdot \omega^2 \]

Подставим радиус и угловую скорость:

\[ a_n = 0.2 \cdot (29)^2 \] \[ a_n = 0.2 \cdot 841 = 168.2 \text{ м/с}^2 \]

4. Итоги

Теперь подведем итоги для всех значений:

• Угловая скорость \( \omega \): 29 рад/с
• Тангенциальное ускорение \( a_t \): 1.2 м/с²
• Нормальное ускорение \( a_n \): 168.2 м/с²

Таким образом, мы нашли угловую скорость и оба типа ускорения для диска в момент времени t = 10 секунд.