Для решения задачи нужно определить угловую скорость, тангенциальное и нормальное ускорение диска в момент времени t = 10 секунд. У нас есть уравнение вращения:
[
\phi = A + B \cdot t + C \cdot t^3
]
где
- ( B = -1 ) рад/с,
- ( C = 0.1 ) рад/с³.
- Определение угловой скорости ( \omega )
Угловая скорость — это производная угла поворота по времени:
[
\omega = \frac{d\phi}{dt}
]
Из уравнения вращения находим производную:
[
\frac{d\phi}{dt} = 0 + B + 3Ct^2
]
Подставим значения ( B ) и ( C ):
[
\omega = -1 + 3 \cdot 0.1 \cdot t^2
]
Теперь подставим ( t = 10 ):
[
\omega = -1 + 3 \cdot 0.1 \cdot 10^2
]
[
\omega = -1 + 3 \cdot 0.1 \cdot 100
]
[
\omega = -1 + 30 = 29 \text{ рад/с}
]
- Определение тангенциального ускорения ( a_t )
Тангенциальное ускорение связано с изменением угловой скорости во времени:
[
a_t = r \cdot \alpha
]
где ( \alpha ) — угловое ускорение. Угловое ускорение — это производная угловой скорости:
[
\alpha = \frac{d\omega}{dt}
]
Применим к выражению для угловой скорости:
[
\alpha = 0 + 0 + 6Ct = 6 \cdot 0.1 \cdot t
]
[
\alpha = 0.6t
]
Теперь подставляем ( t = 10 ):
[
\alpha = 0.6 \cdot 10 = 6 \text{ рад/с}^2
]
Теперь найдем тангенциальное ускорение, используя радиус ( r = 0.2 ) м:
[
a_t = r \cdot \alpha = 0.2 \cdot 6 = 1.2 \text{ м/с}^2
]
- Определение нормального ускорения ( a_n )
Нормальное ускорение можно найти по формуле:
[
a_n = r \cdot \omega^2
]
Подставим радиус и угловую скорость:
[
a_n = 0.2 \cdot (29)^2
]
[
a_n = 0.2 \cdot 841 = 168.2 \text{ м/с}^2
]
- Итоги
Теперь подведем итоги для всех значений:
- Угловая скорость ( \omega ): 29 рад/с
- Тангенциальное ускорение ( a_t ): 1.2 м/с²
- Нормальное ускорение ( a_n ): 168.2 м/с²
Таким образом, мы нашли угловую скорость и оба типа ускорения для диска в момент времени t = 10 секунд.
