в 9 классе 32 учащихся. каждые двое учащихся обменялись друг с другом фотографиями. сколько всего было подарено фотографий

Для решения этой задачи начнем с понимания того, что каждый из 32 участников обменивается фотографиями со всеми остальными учащимися. Это можно представить как задачу комбинаторики.

1. Определим, сколько пар учащихся существует.
   Поскольку каждый учащийся обменивается фотографиями с каждым другим учащимся, нам необходимо подсчитать количество уникальных пар, состоящих из 2 человек. Для этого лучше всего использовать формулу сочетаний.

   Формула для количества сочетаний из \( n \) элементов по \( k \) (в нашем случае \( k = 2 \)) выглядит так:

   \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

   Подставим наши значения:

   • \( n = 32 \)
   • \( k = 2 \)

   Таким образом, количество пар будет равно:

   \[ C(32, 2) = \frac{32!}{2!(32-2)!} = \frac{32!}{2! \cdot 30!} \]

2. Упростим выражение.
   В данном выражении можно сократить \( 32! \) и \( 30! \):

   \[ C(32, 2) = \frac{32 \times 31}{2 \times 1} = \frac{32 \times 31}{2} \]

3. Выполним вычисления.
   Теперь посчитаем:

   \[ 32 \times 31 = 992 \]

   Делим на 2:

   \[ \frac{992}{2} = 496 \]

Таким образом, всего было подарено 496 фотографий.

В рамках всего процесса каждый обмен фотографиями между двумя учащимися считается только один раз, поэтому общее количество подаренных фотографий равно количеству этих пар.