Одно целое число больше другого на 7. Докажите, что разность квадратов этих чисел кратна 7.
Для решения задачи, давайте обозначим два целых числа. Пусть первое число будет \( x \), а второе число будет \( y \). Согласно условию, одно число больше другого на 7, т.е. мы можем записать:
\[ y = x + 7 \]
Теперь необходимо найти разность квадратов этих чисел, то есть \( y^2 - x^2 \).
Согласно формуле разности квадратов, мы имеем:
\[ y^2 - x^2 = (y - x)(y + x) \]
Теперь подставим \( y \) из нашего первого уравнения:
- Вычислим \( y - x \):
\[ y - x = (x + 7) - x = 7 \]
- Вычислим \( y + x \):
\[ y + x = (x + 7) + x = 2x + 7 \]
Теперь можем подставить эти выражения в формулу разности квадратов:
\[ y^2 - x^2 = (y - x)(y + x) = 7(2x + 7) \]
Теперь обратим внимание на выражение \( 7(2x + 7) \):
- Мы видим, что \( y^2 - x^2 \) представляет собой произведение 7 на некоторое целое число \( (2x + 7) \).
Следовательно, \( y^2 - x^2 \) делится на 7, так как одно из множителей — это 7.
Таким образом, мы доказали, что разность квадратов двух целых чисел, одно из которых больше другого на 7, кратна 7.
