Одно целое число больше другого на 7. Докажите, что разность квадратов этих чисел кратна 7.

Для решения задачи, давайте обозначим два целых числа. Пусть первое число будет \( x \), а второе число будет \( y \). Согласно условию, одно число больше другого на 7, т.е. мы можем записать: \[ y = x + 7 \] Теперь необходимо найти разность квадратов этих чисел, то есть \( y^2 - x^2 \). Согласно формуле разности квадратов, мы имеем: \[ y^2 - x^2 = (y - x)(y + x) \] Теперь подставим \( y \) из нашего первого уравнения: 1. Вычислим \( y - x \): \[ y - x = (x + 7) - x = 7 \] 2. Вычислим \( y + x \): \[ y + x = (x + 7) + x = 2x + 7 \] Теперь можем подставить эти выражения в формулу разности квадратов: \[ y^2 - x^2 = (y - x)(y + x) = 7(2x + 7) \] Теперь обратим внимание на выражение \( 7(2x + 7) \): - Мы видим, что \( y^2 - x^2 \) представляет собой произведение 7 на некоторое целое число \( (2x + 7) \). Следовательно, \( y^2 - x^2 \) делится на 7, так как одно из множителей — это 7. Таким образом, мы доказали, что разность квадратов двух целых чисел, одно из которых больше другого на 7, кратна 7.