Для решения этой задачи нам нужно использовать формулу для вычисления сочетаний, поскольку порядок выбора людей не важен. Мы можем использовать обозначение (\binom{n}{k}), чтобы обозначить количество сочетаний, выбирая (k) элементов из (n) доступных.
В данном случае у нас есть:
- (n = 25) (общее количество учащихся),
- (k = 6) (число учащихся в команде).
Формула для вычисления сочетаний выглядит так:
[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
]
Где (n!) (факториал (n)) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до (n).
Теперь подставим наши значения в формулу:
[
\binom{25}{6} = \frac{25!}{6! \cdot (25-6)!} = \frac{25!}{6! \cdot 19!}
]
Чтобы упростить это выражение, заметим, что (25!) можно разложить следующим образом:
[
25! = 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19!
]
Теперь подставим это обратно в нашу формулу:
[
\binom{25}{6} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19!}{6! \cdot 19!}
]
Упрощая, мы можем сократить (19!):
[
\binom{25}{6} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20}{6!}
]
Теперь давайте вычислим (6!):
[
6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720
]
Теперь подставим значение (6!) обратно в формулу:
[
\binom{25}{6} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20}{720}
]
Теперь нам нужно посчитать числитель:
[
25 \times 24 = 600, \
600 \times 23 = 13800, \
13800 \times 22 = 303600, \
303600 \times 21 = 6375600, \
6375600 \times 20 = 127512000
]
Таким образом, у нас получается:
[
\binom{25}{6} = \frac{127512000}{720}
]
Теперь делим:
[
127512000 \div 720 = 176400
]
Итак, количество способов сформировать команду из 6 человек для участия в математической олимпиаде равно:
[
\boxed{176400}
]
