Полый шар из алюминия, находясь в воде, растягивает пружину динамометра с силой 0,25 Н, в керосине - с силой 0,32 Н. Определите объем полости.

Для решения этой задачи нам нужно понять, как различается сила, которую пружина динамометра показывает в разных жидкостях (вода и керосин), и как это связано с избыточной силой Архимеда.

Шаг 1: Понимание задачи

Полый шар, находясь в жидкости, испытывает на себя две силы:

• Выталкивающая сила (сила Архимеда), которая действует вверх.
• Сила тяжести, которую мы можем наблюдать через динамометр (она указывает на тяжесть того, что остаётся в динамометре после выталкивания).

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости и может быть рассчитана по формуле:

\[ F_A = \rho_{ж} \cdot V_{п} \cdot g \]

где:

• \( F_A \) — сила Архимеда,
• \( \rho_{ж} \) — плотность жидкости,
• \( V_{п} \) — объем вытесненной жидкости (в данном случае объем полости шара),
• \( g \) — ускорение свободного падения (около 9,81 м/с\(^2\), но можем не учитывать его, так как на него ссылаются обе силы).

Шаг 2: Записываем уравнения для двух жидкостей

1. Для воды:

   • Сила, показываемая динамометром: \[ F_вода = mg - F_A \] где \( mg \) — вес шара в воздухе, который нам не нужен, поскольку мы работаем с разностью выталкивающих сил.

   Но так как эта сила равна 0,25 Н: \[ m - F_A = 0,25 \]

2. Для керосина:

   • Сила, показываемая динамометром: \[ F_керосин = mg - F_A \] И она равна 0,32 Н: \[ m - F_A = 0,32 \]

Шаг 3: Поскольку α - вес шара, разность дает нам информацию о силах Архимеда

• Разность между силами в двух жидкостях равна разности выталкивающих сил от каждой жидкости: \[ F_A(вода) - F_A(керосин) = 0,32 - 0,25 = 0,07 \text{ Н} \]

Шаг 4: Определяем объем полости

Мы знаем, что: \[ F_A(вода) = \rho_{вода} \cdot V \cdot g \] где \(\rho_{вода} \approx 1000 \text{ кг/м}^3\).

Подставляем:

\[ 0,25 + F_A(вода) = mg \]

И мы можем выразить это как: \[ F_A(вода) = 0,25 + F_A(керосин) + 0,07 \]

Выталкивающая сила в каждом случае:

• Для воды: \[ F_A(вода) = 0,25 + 0,25 = 0,5 \text{ Н} \]
• Для керосина: \[ F_A(керосин) = 0,32 + 0,07 = 0,39 \text{ Н} \]

Шаг 5: Выводим объем полости

Теперь, так как мы знаем плотность воды, мы можем найти объем полости V: \[ F_A(вода) = \rho_{вода} \cdot V \cdot g \] \[ V = \frac{F_A(вода)}{\rho_{вода} \cdot g} \] \[ = \frac{0,5}{1000 \cdot 9,81} \approx 0,000051 \text{ м}^3 = 51 \text{ см}^3 \]

Ответ

Объем полости полого шара составляет примерно 51 см³.