Производится серия из 10 испытаний с вероятностью успеха p=0,3 что более вероятно: ровно 4 успеха или ровно 5 успехов?

Для решения этой задачи нам нужно использовать формулу биномиального распределения, так как у нас есть серия испытаний (в данном случае 10) с фиксированной вероятностью успеха (p = 0.3).

Биномиальное распределение описывается формулой:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k} \]

где:

• \( P(X = k) \) — вероятность того, что будет ровно \( k \) успехов,
• \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае \( n = 10 \)),
• \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (здесь \( p = 0.3 \)),
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( ! \) — факториал.

Мы будем искать вероятности для 4 и 5 успехов.

Шаг 1: Вероятность ровно 4 успехов

Подставим значения в формулу для \( k = 4 \):

\[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot (0.3)^4 \cdot (0.7)^{10-4} \]

1. Сначала найдем биномиальный коэффициент \( C(10, 4) \):

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

2. Теперь подставим все значения в формулу:

\[ P(X = 4) = 210 \cdot (0.3)^4 \cdot (0.7)^6 \]

Вычислим \( (0.3)^4 \):

\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]

Вычислим \( (0.7)^6 \):

\[ (0.7)^6 \approx 0.117649 \]

Теперь подставим:

\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \approx 210 \cdot 0.0009537 \approx 0.20012 \]

Шаг 2: Вероятность ровно 5 успехов

Теперь подставим значения для \( k = 5 \):

\[ P(X = 5) = C(10, 5) \cdot (0.3)^5 \cdot (0.7)^{10-5} \]

1. Найдем биномиальный коэффициент \( C(10, 5) \):

\[ C(10, 5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252 \]

2. Подставим в формулу и вычислим:

\[ P(X = 5) = 252 \cdot (0.3)^5 \cdot (0.7)^5 \]

Вычислим \( (0.3)^5 \):

\[ (0.3)^5 = 0.00243 \]

Вычислим \( (0.7)^5 \):

\[ (0.7)^5 \approx 0.16807 \]

Теперь подставим:

\[ P(X = 5) = 252 \cdot 0.00243 \cdot 0.16807 \approx 252 \cdot 0.000408 \approx 0.102264 \]

Шаг 3: Сравнение вероятностей

Теперь у нас есть вероятности:

• Вероятность ровно 4 успехов: \( P(X = 4) \approx 0.20012 \)
• Вероятность ровно 5 успехов: \( P(X = 5) \approx 0.102264 \)

Вывод

Сравнив вероятности, мы видим, что:

\[ P(X = 4) > P(X = 5) \]

Таким образом, более вероятно получить ровно 4 успеха, чем ровно 5 успехов.