на окружности отметили 20 точек. сколько существует пятиугольников с вершинами в этих точках

Для решения задачи о том, сколько существует пятиугольников с вершинами в 20 точках, расположенных на окружности, воспользуемся комбинациями.

При расположении точек на окружности важно помнить, что порядок выбора вершин не имеет значения, поскольку пятиугольник не зависит от того, в каком порядке мы выбираем его вершины.

Шаг 1: Определим формулу

Количество способов выбрать \( k \) объектов из \( n \) различных объектов без учета порядка задается формулой:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n! \) (факториал \( n \)) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \).

Шаг 2: Подставим значения

В этой задаче:

• \( n = 20 \) (количество точек),
• \( k = 5 \) (количество вершин пятиугольника).

Подставляем значения в формулу:

\[ C(20, 5) = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20!}{5! \cdot 15!} \]

Шаг 3: Упрощение

Для упрощения вычислений воспользуемся тем, что \( 20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15! \). Таким образом, \( 15! \) в числителе и знаменателе сокращается:

\[ C(20, 5) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5!} \]

Теперь вычислим \( 5! \):

\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]

Шаг 4: Вычисление

Теперь у нас есть:

\[ C(20, 5) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{120} \]

Теперь вычислим числитель:

\[ 20 \times 19 = 380 \] \[ 380 \times 18 = 6840 \] \[ 6840 \times 17 = 116280 \] \[ 116280 \times 16 = 1860480 \]

Теперь подставляем в нашу формулу:

\[ C(20, 5) = \frac{1860480}{120} = 15504 \]

Ответ

Таким образом, количество существующих пятиугольников с вершинами в 20 точках на окружности равно 15504.