Для решения задачи о том, сколько существует пятиугольников с вершинами в 20 точках, расположенных на окружности, воспользуемся комбинациями.
При расположении точек на окружности важно помнить, что порядок выбора вершин не имеет значения, поскольку пятиугольник не зависит от того, в каком порядке мы выбираем его вершины.
Шаг 1: Определим формулу
Количество способов выбрать ( k ) объектов из ( n ) различных объектов без учета порядка задается формулой:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где ( n! ) (факториал ( n )) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до ( n ).
Шаг 2: Подставим значения
В этой задаче:
- ( n = 20 ) (количество точек),
- ( k = 5 ) (количество вершин пятиугольника).
Подставляем значения в формулу:
[
C(20, 5) = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20!}{5! \cdot 15!}
]
Шаг 3: Упрощение
Для упрощения вычислений воспользуемся тем, что ( 20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15! ). Таким образом, ( 15! ) в числителе и знаменателе сокращается:
[
C(20, 5) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5!}
]
Теперь вычислим ( 5! ):
[
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
]
Шаг 4: Вычисление
Теперь у нас есть:
[
C(20, 5) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{120}
]
Теперь вычислим числитель:
[
20 \times 19 = 380
]
[
380 \times 18 = 6840
]
[
6840 \times 17 = 116280
]
[
116280 \times 16 = 1860480
]
Теперь подставляем в нашу формулу:
[
C(20, 5) = \frac{1860480}{120} = 15504
]
Ответ
Таким образом, количество существующих пятиугольников с вершинами в 20 точках на окружности равно 15504.
