1. В прямоугольном треугольнике АВС высота BD равна 24 см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DC, равный 18 см. Найдите АВ и cos A. 2. Диагональ АС прямоугольника АВСD равна 8 см и составляет со стороной AD угол в 45°. Найдите площадь прямоугольника. 3. В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, средняя линия равна 18 см, а основания относятся как 18. Найдите осно-вания трапеции и её площадь.

### Задача 1 **Условие:** В прямоугольном треугольнике АВС высота BD равна 24 см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DC, равный 18 см. Найдите АВ и cos A. **Решение:** 1. **Обозначим:** - \( AB = c \) — гипотенуза треугольника. - \( AC = b \) — один из катетов. - \( BC = a \) — другой катет. - Высота \( BD = 24 \) см. - Отрезок \( DC = 18 \) см. 2. **Соотношение в прямоугольном треугольнике:** По теореме о высоте в прямоугольном треугольнике, сумма произведений отрезков гипотенузы на отрезки высоты равна произведению катетов: \[ BD^2 = AD \cdot DC \] За обозначаем: - \( AD = x \) - Тогда \( AC = AD + DC = x + 18 \). 3. **Подставляем данные в уравнение:** \[ 24^2 = x \cdot 18 \\ 576 = 18x \\ x = \frac{576}{18} = 32 \text{ см} \] Таким образом, длина \( AC = AD + DC = 32 + 18 = 50 \) см. 4. **Найдем АВ (гипотенуза):** Обчисляем по теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \\ AB^2 = (50)^2 + (24)^2 \\ AB^2 = 2500 + 576 = 3076 \\ AB = \sqrt{3076} \approx 55.5 \text{ см} \] 5. **Найдем cos A:** В треугольнике \( ABC \), где ∠B равен 90°: \[ \cos A = \frac{BC}{AB} = \frac{24}{55.5} \approx 0.4324 \] **Ответ:** \( AB \approx 55.5 \) см; \( \cos A \approx 0.4324 \) --- ### Задача 2 **Условие:** Диагональ АС прямоугольника АВСD равна 8 см и составляет со стороной AD угол в 45°. Найдите площадь прямоугольника. **Решение:** 1. **Обозначим:** - \( AD = a \) - \( BC = b \) - Число сторон прямоугольника: \( AC = \sqrt{a^2 + b^2} \) 2. **Поскольку диагональ \( AC = 8 \) см:** \[ \sqrt{a^2 + b^2} = 8 \\ a^2 + b^2 = 64 \] 3. **Углы:** Уgiven angle \( 45^\circ \): \[ \tan 45^\circ = 1 \implies a = b \] Таким образом, \( a = b \). 4. **Подставим в формулу:** \[ a^2 + a^2 = 64 \\ 2a^2 = 64 \\ a^2 = 32 \\ a = b = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см} \] 5. **Найдем площадь:** \[ S = a \cdot b = 4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 32 \text{ см}^2 \] **Ответ:** Площадь прямоугольника равна \( 32 \text{ см}^2 \). --- ### Задача 3 **Условие:** В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, средняя линия равна 18 см, а основания относятся как 1:2. Найдите основания трапеции и её площадь. **Решение:** 1. **Обозначим основания:** - Пусть \( a \) — меньшее основание. - Тогда большее основание \( b = 2a \). 2. **Согласно формуле средней линии:** Средняя линия \( m = \frac{a + b}{2} = 18 \): \[ \frac{a + 2a}{2} = 18 \\ \frac{3a}{2} = 18 \\ 3a = 36 \\ a = 12, \, b = 24 \] 3. **Проверка угла в 135°:** В трапеции с углом \(135^\circ\) и основанием \( a = 12 \), в высоте образуется прямоугольный треугольник. Высота: \[ h = a \cdot \tan(135^\circ) = 12 \cdot (-1) = -12 \quad (\text{взять модуля) } \] Так как углы и высота получаются отрицательными, мы рассматриваем положительное значение. 4. **Площадь трапеции:** \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] Но сначала найдем высоту: \( h = a \cdot \tan(45^\circ) = 12 \). 5. **Площадь:** \[ S = \frac{(12 + 24) \cdot 12}{2} = \frac{36 \cdot 12}{2} = 216 \] **Ответ:** основания трапеции \( 12 \) см и \( 24 \) см; площадь \( 216 \text{ см}^2 \).