1. В прямоугольном треугольнике АВС высота BD равна 24 см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DC, равный 18 см. Найдите АВ и cos A. 2. Диагональ АС прямоугольника АВСD равна 8 см…

Задача 1

Условие: В прямоугольном треугольнике АВС высота BD равна 24 см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DC, равный 18 см. Найдите АВ и cos A.

Решение:

1. Обозначим:

   • \( AB = c \) — гипотенуза треугольника.
   • \( AC = b \) — один из катетов.
   • \( BC = a \) — другой катет.
   • Высота \( BD = 24 \) см.
   • Отрезок \( DC = 18 \) см.

2. Соотношение в прямоугольном треугольнике: По теореме о высоте в прямоугольном треугольнике, сумма произведений отрезков гипотенузы на отрезки высоты равна произведению катетов:

   \[ BD^2 = AD \cdot DC \]

   За обозначаем:

   • \( AD = x \)
   • Тогда \( AC = AD + DC = x + 18 \).

3. Подставляем данные в уравнение:

   \[ 24^2 = x \cdot 18 \\ 576 = 18x \\ x = \frac{576}{18} = 32 \text{ см} \]

   Таким образом, длина \( AC = AD + DC = 32 + 18 = 50 \) см.

4. Найдем АВ (гипотенуза): Обчисляем по теореме Пифагора:

   \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \\ AB^2 = (50)^2 + (24)^2 \\ AB^2 = 2500 + 576 = 3076 \\ AB = \sqrt{3076} \approx 55.5 \text{ см} \]

5. Найдем cos A: В треугольнике \( ABC \), где ∠B равен 90°:

   \[ \cos A = \frac{BC}{AB} = \frac{24}{55.5} \approx 0.4324 \]

Ответ: \( AB \approx 55.5 \) см; \( \cos A \approx 0.4324 \)

Задача 2

Условие: Диагональ АС прямоугольника АВСD равна 8 см и составляет со стороной AD угол в 45°. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

1. Обозначим:

   • \( AD = a \)
   • \( BC = b \)
   • Число сторон прямоугольника: \( AC = \sqrt{a^2 + b^2} \)

2. Поскольку диагональ \( AC = 8 \) см: \[ \sqrt{a^2 + b^2} = 8 \\ a^2 + b^2 = 64 \]

3. Углы: Уgiven angle \( 45^\circ \): \[ \tan 45^\circ = 1 \implies a = b \]

   Таким образом, \( a = b \).

4. Подставим в формулу: \[ a^2 + a^2 = 64 \\ 2a^2 = 64 \\ a^2 = 32 \\ a = b = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см} \]

5. Найдем площадь: \[ S = a \cdot b = 4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 32 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь прямоугольника равна \( 32 \text{ см}^2 \).

Задача 3

Условие: В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, средняя линия равна 18 см, а основания относятся как 1:2. Найдите основания трапеции и её площадь.

Решение:

1. Обозначим основания:

   • Пусть \( a \) — меньшее основание.
   • Тогда большее основание \( b = 2a \).

2. Согласно формуле средней линии: Средняя линия \( m = \frac{a + b}{2} = 18 \):

   \[ \frac{a + 2a}{2} = 18 \\ \frac{3a}{2} = 18 \\ 3a = 36 \\ a = 12, \, b = 24 \]

3. Проверка угла в 135°: В трапеции с углом \(135^\circ\) и основанием \( a = 12 \), в высоте образуется прямоугольный треугольник. Высота:

   \[ h = a \cdot \tan(135^\circ) = 12 \cdot (-1) = -12 \quad (\text{взять модуля) } \]

   Так как углы и высота получаются отрицательными, мы рассматриваем положительное значение.

4. Площадь трапеции: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

   Но сначала найдем высоту:

   \( h = a \cdot \tan(45^\circ) = 12 \).

5. Площадь: \[ S = \frac{(12 + 24) \cdot 12}{2} = \frac{36 \cdot 12}{2} = 216 \]

Ответ: основания трапеции \( 12 \) см и \( 24 \) см; площадь \( 216 \text{ см}^2 \).