Чтобы решить задачу, начнем с анализа условий. Дадим обозначения:
- Обозначим один из острых углов прямоугольного треугольника как ( A = 60^\circ ).
- Второй острый угол будет ( B = 90^\circ - A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ ).
- Обозначим гипотенузу как ( c ), меньший катет (противолежащий углу 30°) — как ( a ), и больший катет (противолежащий углу 60°) — как ( b ).
По известным свойствам прямоугольного треугольника с углами 30° и 60° применим соотношения между сторонами:
Катет, противолежащий углу 30° (меньший катет) равен половине гипотенузы:
[
a = \frac{1}{2} c
]
Катет, противолежащий углу 60° (больший катет) равен ( a \sqrt{3} ):
[
b = a \sqrt{3} = \frac{1}{2} c \cdot \sqrt{3}
]
По условию задачи нам известна сумма гипотенузы ( c ) и меньшего катета ( a ):
[
c + a = 42
]
Теперь подставим выражение для ( a ) в уравнение, используя ( a = \frac{1}{2} c ):
[
c + \frac{1}{2} c = 42
]
Объединим слагаемые:
[
\frac{3}{2} c = 42
]
Теперь найдем значение ( c ):
[
c = 42 \cdot \frac{2}{3} = 28
]
Таким образом, гипотенуза ( c ) равна 28 см.
Теперь подставим значение ( c ) обратно, чтобы найти меньший катет ( a ):
[
a = \frac{1}{2} c = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14 \text{ см}
]
Ответ
Таким образом, мы нашли, что гипотенуза равна 28 см.
