№1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 600, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу.
Чтобы решить задачу, начнем с анализа условий. Дадим обозначения:
- Обозначим один из острых углов прямоугольного треугольника как \( A = 60^\circ \).
- Второй острый угол будет \( B = 90^\circ - A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
- Обозначим гипотенузу как \( c \), меньший катет (противолежащий углу 30°) — как \( a \), и больший катет (противолежащий углу 60°) — как \( b \).
По известным свойствам прямоугольного треугольника с углами 30° и 60° применим соотношения между сторонами:
Катет, противолежащий углу 30° (меньший катет) равен половине гипотенузы: \[ a = \frac{1}{2} c \]
Катет, противолежащий углу 60° (больший катет) равен \( a \sqrt{3} \): \[ b = a \sqrt{3} = \frac{1}{2} c \cdot \sqrt{3} \]
По условию задачи нам известна сумма гипотенузы \( c \) и меньшего катета \( a \): \[ c + a = 42 \]
Теперь подставим выражение для \( a \) в уравнение, используя \( a = \frac{1}{2} c \): \[ c + \frac{1}{2} c = 42 \]
Объединим слагаемые: \[ \frac{3}{2} c = 42 \]
Теперь найдем значение \( c \): \[ c = 42 \cdot \frac{2}{3} = 28 \]
Таким образом, гипотенуза \( c \) равна 28 см.
Теперь подставим значение \( c \) обратно, чтобы найти меньший катет \( a \): \[ a = \frac{1}{2} c = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14 \text{ см} \]
Ответ
Таким образом, мы нашли, что гипотенуза равна 28 см.
