Давайте решим задачу по нахождению острых углов прямоугольного треугольника, зная гипотенузу и один из катетов.
Дано:
- Гипотенуза ( c = 3\sqrt{2} )
- Один из катетов ( a = 3 )
Задача:
Найти острые углы треугольника.
В прямоугольном треугольнике справедливо следующее свойство:
[ c^2 = a^2 + b^2 ]
где ( c ) — гипотенуза, ( a ) и ( b ) — катеты.
Шаг 1: Найдем второй катет ( b )
Подставим значения в формулу:
[
(3\sqrt{2})^2 = 3^2 + b^2
]
Посчитаем квадрат гипотенузы и катета:
[
(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18
]
[
3^2 = 9
]
Теперь подставим найденные значения:
[
18 = 9 + b^2
]
Шаг 2: Найдем ( b^2 )
Вычтем 9 из обеих сторон уравнения:
[
b^2 = 18 - 9 = 9
]
Теперь найдем ( b ):
[
b = \sqrt{9} = 3
]
Теперь у нас есть все стороны треугольника:
- ( a = 3 )
- ( b = 3 )
- ( c = 3\sqrt{2} )
Шаг 3: Находим острые углы
Используем тригонометрические функции для нахождения углов. Обозначим углы прямоугольного треугольника, противолежащие катету ( a ) как ( \alpha ) и противолежащие катету ( b ) как ( \beta ).
- Для нахождения угла ( \alpha ):
[
\sin(\alpha) = \frac{a}{c}
]
[
\sin(\alpha) = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Таким образом, угол ( \alpha ) равен:
[
\alpha = 45^\circ
]
- Для нахождения угла ( \beta ):
[
\sin(\beta) = \frac{b}{c}
]
[
\sin(\beta) = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Таким образом, угол ( \beta ) равен:
[
\beta = 45^\circ
]
Ответ:
Острые углы прямоугольного треугольника равны ( 45^\circ ) и ( 45^\circ ).
Это значит, что данный треугольник является равнобедренным.
