F(x)=3x4-5x2

Давайте решим задачу, связанную с функцией \( f(x) = 3x^4 - 5x^2 \). Я предоставлю подробное объяснение, чтобы помочь вам понять, как работать с этой функцией. ### Шаг 1: Понять вид функции Функция \( f(x) = 3x^4 - 5x^2 \) является полиномом, так как состоит из нескольких членов, которые являются произведением констант и переменной \( x \) с целыми степенями. ### Шаг 2: Определить особенности функции 1. **Степень полинома**: Поскольку наивысшая степень \( x \) в данном выражении равна 4 (из первого члена \( 3x^4 \)), это функция четвёртой степени. 2. **Коэффициенты**: - \( 3 \) - коэффициент перед \( x^4 \) - \( -5 \) - коэффициент перед \( x^2 \) ### Шаг 3: Нахождение производной Чтобы понять поведение функции, полезно найти её производную. Производная подскажет, где функция возрастает и убывает и где находятся максимумы и минимумы. Вычислим производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4) - \frac{d}{dx}(5x^2) \] Используя правило дифференцирования (степенное правило): \[ f'(x) = 12x^3 - 10x \] ### Шаг 4: Поиск критических точек Критические точки находятся там, где производная равна нулю: \[ 12x^3 - 10x = 0 \] Вынесем общий множитель: \[ 2x(6x^2 - 5) = 0 \] Это дает нам два уравнения: 1. \( 2x = 0 \) -> \( x = 0 \) 2. \( 6x^2 - 5 = 0 \) -> \( 6x^2 = 5 \) -> \( x^2 = \frac{5}{6} \) -> \( x = \pm \sqrt{\frac{5}{6}} \) ### Шаг 5: Исследование знаков производной Теперь нам нужно определить, возрастает или убывает функция, исследуя знаки производной на интервалax между критическими точками: 1. Выбираем тестовые точки: - \( x < -\sqrt{\frac{5}{6}} \) (например, \( x = -2 \)) - \( -\sqrt{\frac{5}{6}} < x < 0 \) (например, \( x = -0.5 \)) - \( 0 < x < \sqrt{\frac{5}{6}} \) (например, \( x = 0.5 \)) - \( x > \sqrt{\frac{5}{6}} \) (например, \( x = 2 \)) 2. Подставим тестовые значения в производную: - Для \( x = -2 \): \[ f'(-2) = 12(-2)^3 - 10(-2) = -96 + 20 < 0 \, \text{(убывает)} \] - Для \( x = -0.5 \): \[ f'(-0.5) = 12(-0.5)^3 - 10(-0.5) = -1.5 + 5 > 0 \, \text{(возрастает)} \] - Для \( x = 0.5 \): \[ f'(0.5) = 12(0.5)^3 - 10(0.5) = 1.5 - 5 < 0 \, \text{(убывает)} \] - Для \( x = 2 \): \[ f'(2) = 12(2)^3 - 10(2) = 96 - 20 > 0 \, \text{(возрастает)} \] ### Шаг 6: Определение максимума и минимума Теперь собираем информацию о тех точках, где производная меняет знак: - Функция **убывает** на \( (-\infty, -\sqrt{\frac{5}{6}}) \) - Функция **возрастает** на \( (-\sqrt{\frac{5}{6}}, 0) \): минимум в \( x=0 \) - Функция **убывает** на \( (0, \sqrt{\frac{5}{6}}) \) - Функция **возрастает** на \( (\sqrt{\frac{5}{6}}, \infty) \): максимум в точке \( x=\sqrt{\frac{5}{6}} \) ### Заключение Мы проанализировали функцию \( f(x) = 3x^4 - 5x^2 \), нашли её производную, критические точки, и выяснили, где функция возрастает и убывает. Это поможет вам глубже понять поведение полиномов третьей и четвёртой степени. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!