f(x)=3x4-5x2

Давайте решим задачу, связанную с функцией \( f(x) = 3x^4 - 5x^2 \). Я предоставлю подробное объяснение, чтобы помочь вам понять, как работать с этой функцией.

Шаг 1: Понять вид функции

Функция \( f(x) = 3x^4 - 5x^2 \) является полиномом, так как состоит из нескольких членов, которые являются произведением констант и переменной \( x \) с целыми степенями.

Шаг 2: Определить особенности функции

1. Степень полинома: Поскольку наивысшая степень \( x \) в данном выражении равна 4 (из первого члена \( 3x^4 \)), это функция четвёртой степени.
2. Коэффициенты:
   • \( 3 \) - коэффициент перед \( x^4 \)
   • \( -5 \) - коэффициент перед \( x^2 \)

Шаг 3: Нахождение производной

Чтобы понять поведение функции, полезно найти её производную. Производная подскажет, где функция возрастает и убывает и где находятся максимумы и минимумы.

Вычислим производную функции \( f(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4) - \frac{d}{dx}(5x^2) \]

Используя правило дифференцирования (степенное правило):

\[ f'(x) = 12x^3 - 10x \]

Шаг 4: Поиск критических точек

Критические точки находятся там, где производная равна нулю:

\[ 12x^3 - 10x = 0 \]

Вынесем общий множитель:

\[ 2x(6x^2 - 5) = 0 \]

Это дает нам два уравнения:

1. \( 2x = 0 \) -> \( x = 0 \)
2. \( 6x^2 - 5 = 0 \) -> \( 6x^2 = 5 \) -> \( x^2 = \frac{5}{6} \) -> \( x = \pm \sqrt{\frac{5}{6}} \)

Шаг 5: Исследование знаков производной

Теперь нам нужно определить, возрастает или убывает функция, исследуя знаки производной на интервалax между критическими точками:

1. Выбираем тестовые точки:

   • \( x < -\sqrt{\frac{5}{6}} \) (например, \( x = -2 \))
   • \( -\sqrt{\frac{5}{6}} < x < 0 \) (например, \( x = -0.5 \))
   • \( 0 < x < \sqrt{\frac{5}{6}} \) (например, \( x = 0.5 \))
   • \( x > \sqrt{\frac{5}{6}} \) (например, \( x = 2 \))

2. Подставим тестовые значения в производную:

• Для \( x = -2 \): \[ f'(-2) = 12(-2)^3 - 10(-2) = -96 + 20 < 0 \, \text{(убывает)} \]

• Для \( x = -0.5 \): \[ f'(-0.5) = 12(-0.5)^3 - 10(-0.5) = -1.5 + 5 > 0 \, \text{(возрастает)} \]

• Для \( x = 0.5 \): \[ f'(0.5) = 12(0.5)^3 - 10(0.5) = 1.5 - 5 < 0 \, \text{(убывает)} \]

• Для \( x = 2 \): \[ f'(2) = 12(2)^3 - 10(2) = 96 - 20 > 0 \, \text{(возрастает)} \]

Шаг 6: Определение максимума и минимума

Теперь собираем информацию о тех точках, где производная меняет знак:

• Функция убывает на \( (-\infty, -\sqrt{\frac{5}{6}}) \)
• Функция возрастает на \( (-\sqrt{\frac{5}{6}}, 0) \): минимум в \( x=0 \)
• Функция убывает на \( (0, \sqrt{\frac{5}{6}}) \)
• Функция возрастает на \( (\sqrt{\frac{5}{6}}, \infty) \): максимум в точке \( x=\sqrt{\frac{5}{6}} \)

Заключение

Мы проанализировали функцию \( f(x) = 3x^4 - 5x^2 \), нашли её производную, критические точки, и выяснили, где функция возрастает и убывает. Это поможет вам глубже понять поведение полиномов третьей и четвёртой степени. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!