6. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника
Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нам нужно знать длины его катетов, так как площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b, \]
где \( a \) и \( b \) — длины катетов.
Определение катетов: В данном случае, у нас есть гипотенуза \( c = 70 \) и один из острых углов \( \alpha = 45^\circ \). Поскольку угол 45° является одним из острых углов в прямоугольном треугольнике, это означает, что второй острый угол также равен 45°, и наш треугольник является равнобедренным (катеты равны).
Применение тригонометрических функций: Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения длины катетов: \[ a = c \cdot \cos(\alpha) \quad \text{и} \quad b = c \cdot \sin(\alpha). \] В нашем случае, поскольку \( \alpha = 45^\circ \): \[ a = 70 \cdot \cos(45^\circ) = 70 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 35\sqrt{2}, \] \[ b = 70 \cdot \sin(45^\circ) = 70 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 35\sqrt{2}. \]
Мы видим, что оба катета равны \( 35\sqrt{2} \).
Вычисление площади: Теперь подставим длины катетов в формулу для нахождения площади: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times (35\sqrt{2}) \times (35\sqrt{2}). \] Упростим это: \[ S = \frac{1}{2} \times 35^2 \times 2 = \frac{1}{2} \times 1225 \times 2 = \frac{2450}{2} = 1225. \]
Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 1225 квадратных единиц.
