Чтобы найти длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника, сначала нужно определить радиус этой окружности.
Шаг 1: Понять свойства описанной окружности
Для любого прямоугольного треугольника радиус описанной окружности (R) можно вычислить по формуле:
[
R = \frac{c}{2}
]
где ( c ) — это длина гипотенузы треугольника.
Шаг 2: Найдем длину гипотенузы
У нас есть катеты ( a = 6 ) и ( b ). Однако, чтобы использовать формулу для нахождения гипотенузы, нам нужно сначала найти ( b ). Поскольку один из углов треугольника равен 45 градусам, второй острый угол тоже равен 45 градусов (так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов).
В данном случае, в прямоугольном треугольнике с углом 45 градусов, длины катетов равны. То есть:
[
b = a = 6
]
Теперь можем определить длину гипотенузы ( c ) по теореме Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}
]
Шаг 3: Рассчитаем радиус описанной окружности
Теперь, когда мы знаем длину гипотенузы, можем найти радиус:
[
R = \frac{c}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}
]
Шаг 4: Найдем длину окружности
Длина окружности (C), описанной вокруг треугольника, рассчитывается по формуле:
[
C = 2\pi R
]
Теперь подставим найденный радиус:
[
C = 2\pi (3\sqrt{2}) = 6\pi\sqrt{2}
]
Ответ
Длина окружности, описанной около данного прямоугольного треугольника, равна ( 6\pi\sqrt{2} ).
