Чтобы решить задачу, давайте подробно разберемся с изменениями температуры и количеством теплоты, а также с работой, выполняемой одноатомным идеальным газом.
Дано:
- Количество газа, ( n = 8 , \text{моль} )
- Изменение температуры, ( \Delta T = 90 , \text{°C} )
- Соотношение количеств теплоты, ( \frac{Q_{1-2}}{Q_{2-3}} = 6 )
Шаг 1. Определение количеств теплоты
Для одноатомного идеального газа можно использовать уравнение для получения теплоты ( Q ) в изобарном процессе (постоянное давление), которое выражается через количество теплоты как ( Q = n c_p \Delta T ), где ( c_p ) — удельная теплоёмкость газа при постоянном давлении. Для одноатомного идеального газа она равна:
[ c_p = \frac{5}{2} R ]
где ( R ) — универсальная газовая постоянная (приблизительно ( R \approx 8.31 , \text{Дж/(моль·К)} )).
Шаг 2. Расчет количества теплоты ( Q_{1-2} )
Теперь мы можем выразить количество теплоты ( Q_{1-2} ):
[
Q_{1-2} = n c_p \Delta T = n \cdot \frac{5}{2} R \cdot \Delta T
]
Подставим известные значения:
[
Q_{1-2} = 8 \cdot \frac{5}{2} \cdot 8.31 \cdot 90
]
Расчитаем его:
- Рассчитаем ( c_p \Delta T ):
[
c_p \Delta T = \frac{5}{2} \cdot 8.31 \cdot 90 = 5 \cdot 4.155 \cdot 90 = 1858.3 , \text{Дж/моль}
]
- Умножим на количество моль:
[
Q_{1-2} = 8 \cdot 1858.3 = 14866.4 , \text{Дж}
]
Шаг 3. Определение количества теплоты ( Q_{2-3} )
Поскольку даны соотношения между количествами теплоты, можем рассчитать ( Q_{2-3} ):
[
\frac{Q_{1-2}}{Q_{2-3}} = 6 \implies Q_{2-3} = \frac{Q_{1-2}}{6} = \frac{14866.4}{6} \approx 2477.73 , \text{Дж}
]
Шаг 4. Вычисление работы ( W )
Работа газа может быть вычислена следующим образом:
[
W = Q_{1-2} - \Delta U
]
Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии ( \Delta U ) можно найти через:
[
\Delta U = n c_v \Delta T
]
где ( c_v ) — удельная теплоёмкость при постоянном объеме:
[
c_v = \frac{3}{2} R
]
Теперь найдем изменение внутренней энергии:
[
\Delta U = 8 \cdot \frac{3}{2} R \cdot 90 = 8 \cdot \frac{3}{2} \cdot 8.31 \cdot 90
]
- Сначала найдём:
[
\Delta U = 8 \cdot 12.465 \cdot 90 = 8 \cdot 1121.85 \approx 8974.8 , \text{Дж}
]
- Теперь Plug значения в уравнение для работы:
[
W = Q_{1-2} - \Delta U = 14866.4 - 8974.8 \approx 5881.6 , \text{Дж}
]
Ответ
Округляя до десятых, получаем работу:
[
W \approx 5881.6 , \text{Дж}
]
Это значит, что работа, выполненная газом, равна 5881.6 Дж.
