Чтобы решить задачу, давайте структурируем информацию и рассмотрим каждый шаг.
Условия задачи:
- Расстояние от плоскости сечения до центра шара равно половине радиуса шара.
- Площадь сечения равна 24.
- Мы хотим найти площадь поверхности шара.
Обозначения:
- Пусть ( r ) — радиус шара.
- Из условия нам известно, что расстояние от центра шара до плоскости сечения ( h = \frac{r}{2} ).
Площадь сечения:
Площадь сечения (круг, образованный плоскостью сечения) можно выразить через радиус круга ( R ):
[
S = \pi R^2
]
где ( S ) — площадь сечения.
Связь между радиусом шара и радиусом круга сечения:
Когда мы имеем шар и плоскость, пересекающую его, радиус круга ( R ) можно найти по формуле:
[
R = \sqrt{r^2 - h^2}
]
где ( h ) — расстояние от центра шара до плоскости сечения.
Подставим известные значения:
В нашем случае ( h = \frac{r}{2} ):
[
R = \sqrt{r^2 - \left(\frac{r}{2}\right)^2}
]
[
R = \sqrt{r^2 - \frac{r^2}{4}} = \sqrt{\frac{4r^2}{4} - \frac{r^2}{4}} = \sqrt{\frac{3r^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}r}{2}
]
Найдем площадь сечения:
Теперь подставим ( R ) в формулу для площади сечения:
[
S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{3}r}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{3r^2}{4} = \frac{3\pi r^2}{4}
]
Условие площади сечения:
Из условия задания мы знаем, что площадь сечения равна 24:
[
\frac{3\pi r^2}{4} = 24
]
Найдем радиус шара:
Чтобы найти ( r^2 ), умножим обе стороны уравнения на 4:
[
3\pi r^2 = 96
]
Теперь разделим обе стороны на ( 3\pi ):
[
r^2 = \frac{96}{3\pi} = \frac{32}{\pi}
]
Площадь поверхности шара:
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:
[
S_{surface} = 4\pi r^2
]
Подставим найденное ( r^2 ):
[
S_{surface} = 4\pi \cdot \frac{32}{\pi} = 128
]
Ответ:
Площадь поверхности шара равна 128 квадратных единиц.
