Для решения задачи начнем с того, что обозначим несколько событий:
- ( C ): событие, что горожанин является клиентом банка АВС.
- ( W ): событие, что горожанин – женщина.
Из условия задачи знаем:
Каждый четвёртый житель города является клиентом банка АВС, значит:
[
P(C) = \frac{1}{4} = 0.25
]
45% клиентов банка – женщины, следовательно, вероятность того, что клиент банка – женщина:
[
P(W | C) = 0.45
]
Из независимости событий ( C ) и ( W ) можем использовать формулу полной вероятности для нахождения вероятности того, что клиент банка является мужчиной.
Сначала найдем вероятность того, что клиент банка - мужчина:
[
P(M | C) = 1 - P(W | C) = 1 - 0.45 = 0.55
]
где ( M ) - событие, что клиент банка - мужчина.
Теперь найдем вероятность того, что случайно выбранный житель города не является клиентом банка AВС. Это событие обозначим как ( \overline{C} ):
[
P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0.25 = 0.75
]
Мы также хотим найти вероятность того, что мужчина не является клиентом банка AВС.
Найдем сначала вероятность того, что случайно выбранный житель города - мужчина. Обозначим это событие как ( M ). Так как учитываем, что среди клиентов банка 55% мужчин, то среди всех жителей города вероятность того, что случайный житель - мужчина можно выразить через общие пропорции:
Пусть всего жителей ( N ), тогда:
- Количество клиентов банка AВС = ( 0.25N )
- Количество женщин среди клиентов банка = ( 0.45 \times 0.25N = 0.1125N )
- Количество мужчин среди клиентов банка = ( 0.25N - 0.1125N = 0.1375N )
Если предположить, что в городе количество мужчин и женщин примерно равное, можно предложить, что (по намеку от условий задачи) процентное соотношение мужчин и женщин в общем населении также 50%. Следовательно,
[
P(M) = \frac{1}{2} = 0.5
]
Теперь используем правило для нахождения вероятности того, что случайно выбранный мужчина не является клиентом банка AВС:
[
P(\overline{C} | M) = P(\overline{C}) + P(C | M) \cdot P(M)
]
Зная ( P(M) ) и знаменатель скорректировав на вероятности клиенства среди мужчин, можно выразить это взаимоотношение.
По формуле полной вероятности имеем:
[
P(M) = P(M | C) \cdot P(C) + P(M | \overline{C}) \cdot P(\overline{C})
]
Итак, вернемся к нужной вероятности:
[
P(\overline{C} | M) = 1 - P(C | M)
]
По подсчетам так и будем двигаться:
Поскольку мы ищем вероятность, что случайно выбранный мужчина не является клиентом:
[
P(\overline{C} | M) = 1 - P(C | M)
]
Подставляя значения по независимости событий (если клиенты банка распределены равномерно между мужчинами и женщинами), получаем:
[
P(\overline{C} | M) = 1 - 0.25 \cdot 0.55 = 1 - 0.1375 = 0.8625
]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный мужчина из этого города не является клиентом банка AВС, составляет:
[
P(\overline{C} | M) = 0.8625 \text{ или } 86.25%.
]
Это и есть ответ на данную задачу.
