(х-7):х=0 (х+2):(х-2)=0 (х(х-3)(7-х)):((х-1)⁶)>=0

Чтобы решить систему уравнений и неравенств, давайте разберем каждое из них по отдельности.

Задача 1: \( (x - 7) : x = 0 \)

Для того чтобы решить это уравнение, вспомним, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Числитель: \( x - 7 = 0 \)
   Решаем:
   \[ x = 7 \]

2. Знаменатель: \( x \neq 0 \)
   Таким образом, \( x \) не может равняться 0.

Решение:
Единственное решение этого уравнения — \( x = 7 \).

Задача 2: \( \frac{x + 2}{x - 2} = 0 \)

Аналогично предыдущему уравнению, дробь равна нулю, если её числитель равен нулю.

1. Числитель: \( x + 2 = 0 \) Решаем:
   \[ x = -2 \]

2. Знаменатель: \( x - 2 \neq 0 \) означает, что \( x \neq 2 \).

Решение:
Единственное решение этого уравнения — \( x = -2 \).

Задача 3: \( \frac{x(x - 3)(7 - x)}{(x - 1)^6} \geq 0 \)

Теперь займемся неравенством.

1. Числитель: \( x(x - 3)(7 - x) \) должен быть больше или равен нулю. Найдем нули числителя:

   • \( x = 0 \)
   • \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
   • \( 7 - x = 0 \Rightarrow x = 7 \)

   Таким образом, нули числителя: \( x = 0, 3, 7 \).

2. Знаменатель: \( (x - 1)^6 \) всегда положителен, кроме \( x = 1 \), где он равен нулю. Мы также не можем позволить себе деление на ноль, поэтому \( x \neq 1 \).

3. Интервалы: Итак, чтобы исследовать знак числителя, мы используем нули и точки, где выражение не определено: \( x = 0, 1, 3, 7 \).

   Разделим числовую прямую на интервалы:

   • \( (-\infty, 0) \)
   • \( (0, 1) \)
   • \( (1, 3) \)
   • \( (3, 7) \)
   • \( (7, +\infty) \)

4. Тестируем каждый интервал:

   • Для \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)):
     \( (-1)(-4)(8) > 0 \) (знак положительный)
   • В интервале \( (0, 1) \) (например, \( x = 0.5 \)):
     \( (0.5)(-2.5)(6.5) < 0 \) (знак отрицательный)
   • В интервале \( (1, 3) \) (например, \( x = 2 \)):
     \( (2)(-1)(5) < 0 \) (знак отрицательный)
   • В интервале \( (3, 7) \) (например, \( x = 5 \)):
     \( (5)(2)(2) > 0 \) (знак положительный)
   • Для \( x > 7 \) (например, \( x = 8 \)):
     \( (8)(5)(-1) < 0 \) (знак отрицательный)

5. Решение с учетом нулей: Учитывая, что мы ищем, где выражение больше или равно нулю, результат будет:

   • Отрицательные значения: \( (-\infty, 0) \)
   • Ноль: \( x = 0, 3, 7 \) (включаем)
   • Положительные значения: \( (3, 7) \)

В итоге решением неравенства будет: \[ x \in (-\infty, 0] \cup [3, 7] \]

Резюме:

• Решение первого уравнения: \( x = 7 \)
• Решение второго уравнения: \( x = -2 \)
• Решение третьего неравенства: \( x \in (-\infty, 0] \cup [3, 7] \)