(х-7):х=0 (х+2):(х-2)=0 (х(х-3)(7-х)):((х-1)⁶)>=0

Чтобы решить систему уравнений и неравенств, давайте разберем каждое из них по отдельности. ### Задача 1: \( (x - 7) : x = 0 \) Для того чтобы решить это уравнение, вспомним, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. 1. **Числитель:** \( x - 7 = 0 \) Решаем: \[ x = 7 \] 2. **Знаменатель:** \( x \neq 0 \) Таким образом, \( x \) не может равняться 0. **Решение:** Единственное решение этого уравнения — \( x = 7 \). ### Задача 2: \( \frac{x + 2}{x - 2} = 0 \) Аналогично предыдущему уравнению, дробь равна нулю, если её числитель равен нулю. 1. **Числитель:** \( x + 2 = 0 \) Решаем: \[ x = -2 \] 2. **Знаменатель:** \( x - 2 \neq 0 \) означает, что \( x \neq 2 \). **Решение:** Единственное решение этого уравнения — \( x = -2 \). ### Задача 3: \( \frac{x(x - 3)(7 - x)}{(x - 1)^6} \geq 0 \) Теперь займемся неравенством. 1. **Числитель:** \( x(x - 3)(7 - x) \) должен быть больше или равен нулю. Найдем нули числителя: - \( x = 0 \) - \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \) - \( 7 - x = 0 \Rightarrow x = 7 \) Таким образом, нули числителя: \( x = 0, 3, 7 \). 2. **Знаменатель:** \( (x - 1)^6 \) всегда положителен, кроме \( x = 1 \), где он равен нулю. Мы также не можем позволить себе деление на ноль, поэтому \( x \neq 1 \). 3. **Интервалы:** Итак, чтобы исследовать знак числителя, мы используем нули и точки, где выражение не определено: \( x = 0, 1, 3, 7 \). Разделим числовую прямую на интервалы: - \( (-\infty, 0) \) - \( (0, 1) \) - \( (1, 3) \) - \( (3, 7) \) - \( (7, +\infty) \) 4. **Тестируем каждый интервал:** - Для \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( (-1)(-4)(8) > 0 \) (знак положительный) - В интервале \( (0, 1) \) (например, \( x = 0.5 \)): \( (0.5)(-2.5)(6.5) < 0 \) (знак отрицательный) - В интервале \( (1, 3) \) (например, \( x = 2 \)): \( (2)(-1)(5) < 0 \) (знак отрицательный) - В интервале \( (3, 7) \) (например, \( x = 5 \)): \( (5)(2)(2) > 0 \) (знак положительный) - Для \( x > 7 \) (например, \( x = 8 \)): \( (8)(5)(-1) < 0 \) (знак отрицательный) 5. **Решение с учетом нулей:** Учитывая, что мы ищем, где выражение больше или равно нулю, результат будет: - Отрицательные значения: \( (-\infty, 0) \) - Ноль: \( x = 0, 3, 7 \) (включаем) - Положительные значения: \( (3, 7) \) В итоге решением неравенства будет: \[ x \in (-\infty, 0] \cup [3, 7] \] **Резюме:** - Решение первого уравнения: \( x = 7 \) - Решение второго уравнения: \( x = -2 \) - Решение третьего неравенства: \( x \in (-\infty, 0] \cup [3, 7] \)