Прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 и катетом 5 вращают вокруг большего катета. Найдите периметр осевого сечения полученного тела вращения.
Чтобы решить задачу, сначала определим важные данные и понятия, связанные с ней. У нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 и одним катетом (допустим, меньшим) равным 5. Нужно найти периметр осевого сечения тела вращения, когда треугольник вращается вокруг большего катета.
Шаг 1: Находим второй катет
В прямоугольном треугольнике далее применим теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
где:
- \( c \) — гипотенуза (13),
- \( a \) — один катет (5),
- \( b \) — другой катет, который нужно найти.
Подставляем известные значения:
\[ 13^2 = 5^2 + b^2 \] \[ 169 = 25 + b^2 \] \[ 169 - 25 = b^2 \] \[ b^2 = 144 \] \[ b = \sqrt{144} = 12 \]
Таким образом, у нас есть катеты 5 и 12.
Шаг 2: Определяем, какой катет является большим
Из данных катетов: 5 и 12, мы видим, что большим катетом является \( b = 12 \).
Шаг 3: Определяем, что происходит при вращении
Когда треугольник вращается вокруг большего катета (12), он образует цилиндр, высота которого равна меньшему катету (5). Следовательно, радиус основания этого цилиндра равен 5.
Шаг 4: Рассчитываем периметр осевого сечения
Осевое сечение цилиндра, образованного вращением, будет представлять собой прямоугольник, где:
- одна сторона равна высоте цилиндра (равной меньшему катету 5),
- другая сторона равна окружности основания, которую можно найти по формуле:
\[ C = 2 \pi r \]
где \( r \) — радиус (5):
\[ C = 2 \pi \cdot 5 = 10 \pi \]
Теперь периметр P осевого сечения (прямоугольника) можно найти по формуле:
\[ P = 2 \cdot (длина + ширина) \] \[ P = 2 \cdot (12 + 5) \] \[ P = 2 \cdot 17 = 34 \]
Шаг 5: Ответ
Таким образом, периметр осевого сечения полученного тела вращения равен 34.
В итоге, ответ на задачу — периметр осевого сечения равен 34.
