Какой является функция f(x)=x^3sinx: а) чётной б) нечётной в) не является ни чётной, ни нечётной

Чтобы определить, является ли функция \( f(x) = x^3 \sin x \) четной, нечетной или ни одной из этих двух, нужно использовать определения четной и нечетной функции.

Определения:

1. Четная функция: Функция \( f(x) \) является четной, если для всех \( x \) выполняется: \[ f(-x) = f(x) \]

2. Нечетная функция: Функция \( f(x) \) является нечетной, если для всех \( x \) выполняется: \[ f(-x) = -f(x) \]

Проверим функцию \( f(x) \):

1. Найдем \( f(-x) \): \[ f(-x) = (-x)^3 \sin(-x) \]

   Теперь упрощаем каждую часть:

   • \( (-x)^3 = -x^3 \) (так как куб исходного числа меняет знак)
   • \( \sin(-x) = -\sin(x) \) (так как синус является нечетной функцией)

   Подставим это в формулу: \[ f(-x) = -x^3 (-\sin x) = x^3 \sin x \]

   Таким образом, мы получаем: \[ f(-x) = x^3 \sin x = f(x) \]

   Это значит, что функция \( f(x) \) четная.

2. Проверка на нечетность:

   • Мы уже выяснили, что \( f(-x) = f(x) \). Чтобы функция была нечетной, должно выполняться \( f(-x) = -f(x) \).
   • Проверим: \[ -f(x) = -\left(x^3 \sin x\right) = -x^3 \sin x \] Это не равно \( f(-x) \), таким образом, \( f(x) \) не является нечетной.

Заключение:

Функция \( f(x) = x^3 \sin x \) является четной.

Правильный ответ: а) четной.