Задача 5. Выберите все выражения, которые будут чётными при всех натуральных п. 5) 15 ^ 2 + 19 ^ 2 1) 4n + 18 2) 7n(7n + 1) 3) (n + 3)(n + 4) 4) 2n + 3
Чтобы понять, какие из представленных выражений являются четными при всех натуральных \( n \), нужно определить, что такое четное и нечетное число.
Четное число — это число, которое делится на 2 без остатка. Нечетное число — это число, которое при делении на 2 дает остаток 1.
Теперь рассмотрим каждое выражение:
\( 4n + 18 \)
\( 4n \) — четное для любого натурального \( n \) (так как 4 — четное число).
\( 18 \) — четное.
Сумма двух четных чисел также четная.
Выражение чётное.\( 7n(7n + 1) \)
\( 7n \) — будет четным, если \( n \) четное, и нечетным, если \( n \) нечетное.
\( (7n + 1) \) — всегда будет нечетным для нечетного \( n \) и четным для четного \( n \).
Поэтому, если \( n \) четное, то \( 7n(7n + 1) \) четное, а если \( n \) нечетное, то \( 7n(7n + 1) \) будет нечетным.
Выражение не чётное при всех натуральных n.\( (n + 3)(n + 4) \)
\( n + 3 \) может быть четным или нечетным, в зависимости от \( n \).
\( n + 4 \) будет четным для любого натурального \( n \).
Произведение четного (второго множителя) с любым числом (в первом множителе) всегда четное.
Выражение чётное.\( 2n + 3 \)
\( 2n \) — четное для любого натурального \( n \).
\( 3 \) — нечетное.
Сумма четного и нечетного числа всегда нечетная.
Выражение не чётное.\( 15^2 + 19^2 \)
\( 15^2 = 225 \) (нечетное) и \( 19^2 = 361 \) (нечетное).
Сумма двух нечетных чисел всегда четная (потому что \( 225 + 361 = 586 \)).
Выражение чётное.
Теперь подытожим:
- Чётные выражения: **1)**\( 4n + 18 \), **3)**\( (n + 3)(n + 4) \), **5)**\( 15^2 + 19^2 \).
- Нечётные выражения: **2)**\( 7n(7n + 1) \), **4)**\( 2n + 3 \).
Таким образом, выражения, которые будут чётными при всех натуральных \( n \): 1, 3, 5.
