Чтобы решить задачу, давайте преобразуем данное тригонометрическое выражение (\frac{\tan a}{\tan a + \cot a}) шаг за шагом.
Шаг 1: Понимание тригонометрических функций
Напомним, что:
- (\tan a = \frac{\sin a}{\cos a})
- (\cot a = \frac{\cos a}{\sin a})
Шаг 2: Подставляем определения
Заменим (\tan a) и (\cot a) на их определения в исходном выражении:
[
\frac{\tan a}{\tan a + \cot a} = \frac{\frac{\sin a}{\cos a}}{\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\cos a}{\sin a}}
]
Шаг 3: Упрощаем деноминатор
Теперь нужно упростить дробь в знаменателе:
[
\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\cos a}{\sin a}
]
Чтобы сложить два дроби, найдем общий знаменатель, который будет равен (\sin a \cos a):
[
\frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\sin a \cos a}
]
Поскольку (\sin^2 a + \cos^2 a = 1) (это основное тригонометрическое тождество), мы можем подставить:
[
\frac{1}{\sin a \cos a}
]
Шаг 4: Подставляем обратно в выражение
Теперь вернемся к нашему выражению:
[
\frac{\tan a}{\tan a + \cot a} = \frac{\frac{\sin a}{\cos a}}{\frac{1}{\sin a \cos a}} = \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \sin a \cos a = \sin^2 a
]
Шаг 5: Итог
В итоге мы получили, что:
[
\frac{\tan a}{\tan a + \cot a} = \sin^2 a
]
Таким образом, правильный ответ к вашему вопросу:
в) (\sin^2 a).
