1. В урне 2 белых и 10 черных шаров; во второй – 8 белых и 4 черных шара. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность (выбрать любое одно и решить), что а) оба шара белые;…

Давайте разберем каждую из предложенных задач по отдельности.

Задача 1:

В урне 2 белых и 10 черных шаров; во второй – 8 белых и 4 черных шара. Из каждой урны вынули по шару.

Для решения задачи используем формулу для вычисления вероятности. Сначала определим общее количество шаров в каждой урне:

• Первая урна: 2 белых + 10 черных = 12 шаров.
• Вторая урна: 8 белых + 4 черных = 12 шаров.

Теперь найдем вероятности для различных случаев:

а) Вероятность, что оба шара белые:

1. Вероятность того, что шар из первой урны белый: \[ P(A) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]
2. Вероятность того, что шар из второй урны белый: \[ P(B) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]
3. Объединенная вероятность (оба шара белые): \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \]

б) Вероятность, что один белый и один черный:

Существует два сценария: белый из первой урны и черный из второй, или черный из первой и белый из второй.

1. Сценарий 1:

   • Белый из первой: \(P(A) = \frac{1}{6}\)
   • Черный из второй: \[ P(B') = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]
   • Вероятность: \[ P(A \cap B') = P(A) \times P(B') = \frac{1}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{18} \]

2. Сценарий 2:

   • Черный из первой: \[ P(A') = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \]
   • Белый из второй: \[ P(B) = \frac{2}{3} \]
   • Вероятность: \[ P(A' \cap B) = P(A') \times P(B) = \frac{5}{6} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \]

Теперь суммируем обе вероятности: \[ P(\text{один белый и один черный}) = P(A \cap B') + P(A' \cap B) = \frac{1}{18} + \frac{5}{9} \] Приведем к общему знаменателю (81): \[ \frac{1}{18} = \frac{4.5}{81}, \quad \frac{5}{9} = \frac{45}{81} \] Итак, \[ P(\text{один белый и один черный}) = \frac{4.5 + 45}{81} = \frac{49.5}{81} \]

в) Вероятность, что оба шара черные:

1. Вероятность, что шар из первой урны черный: \[ P(A') = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \]
2. Вероятность, что шар из второй урны черный: \[ P(B') = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]
3. Объединенная вероятность (оба шара черные): \[ P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = \frac{5}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{5}{18} \]

Задача 2:

Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка 0,75; для второго – 0,8; для третьего – 0,9.

а) Вероятность, что все три попадут в цель:

Для вычисления вероятности того, что все три стрелка попадут в цель, перемножим вероятности каждого из них: \[ P(\text{все попадут}) = P_1 \times P_2 \times P_3 = 0.75 \times 0.8 \times 0.9 \]

Вычислим: \[ P(\text{все попадут}) = 0.75 \times 0.8 = 0.6 \] \[ P(\text{все попадут}) = 0.6 \times 0.9 = 0.54 \]

б) Вероятность, что в цель попадет хотя бы один стрелок:

Для нахождения этой вероятности проще воспользоваться законом сохранения: \[ P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\text{ни один не попадет}) \]

Сначала найдем вероятность того, что каждый из стрелков не попадает в цель: \[ P(\text{первый не попал}) = 1 - 0.75 = 0.25 \] \[ P(\text{второй не попал}) = 1 - 0.8 = 0.2 \] \[ P(\text{третий не попал}) = 1 - 0.9 = 0.1 \]

Теперь произведем вычисления: \[ P(\text{ни один не попадет}) = P(\text{первый не попал}) \times P(\text{второй не попал}) \times P(\text{третий не попал}) = 0.25 \times 0.2 \times 0.1 \] \[ = 0.005 \]

Следовательно: \[ P(\text{хотя бы один попадет}) = 1 - P(\text{ни один не попадет}) = 1 - 0.005 = 0.995 \]

Ответы:

• Задача 1:

  • а) \(\frac{1}{9}\)
  • б) \(\frac{49.5}{81}\)
  • в) \(\frac{5}{18}\)

• Задача 2:

  • а) \(0.54\)
  • б) \(0.995\)