Давайте разберем каждую из предложенных задач по отдельности.
Задача 1:
В урне 2 белых и 10 черных шаров; во второй – 8 белых и 4 черных шара. Из каждой урны вынули по шару.
Для решения задачи используем формулу для вычисления вероятности. Сначала определим общее количество шаров в каждой урне:
- Первая урна: 2 белых + 10 черных = 12 шаров.
- Вторая урна: 8 белых + 4 черных = 12 шаров.
Теперь найдем вероятности для различных случаев:
а) Вероятность, что оба шара белые:
- Вероятность того, что шар из первой урны белый:
[
P(A) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}
]
- Вероятность того, что шар из второй урны белый:
[
P(B) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
]
- Объединенная вероятность (оба шара белые):
[
P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}
]
б) Вероятность, что один белый и один черный:
Существует два сценария: белый из первой урны и черный из второй, или черный из первой и белый из второй.
Сценарий 1:
- Белый из первой: (P(A) = \frac{1}{6})
- Черный из второй:
[
P(B') = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}
]
- Вероятность:
[
P(A \cap B') = P(A) \times P(B') = \frac{1}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{18}
]
Сценарий 2:
- Черный из первой:
[
P(A') = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}
]
- Белый из второй:
[
P(B) = \frac{2}{3}
]
- Вероятность:
[
P(A' \cap B) = P(A') \times P(B) = \frac{5}{6} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}
]
Теперь суммируем обе вероятности:
[
P(\text{один белый и один черный}) = P(A \cap B') + P(A' \cap B) = \frac{1}{18} + \frac{5}{9}
]
Приведем к общему знаменателю (81):
[
\frac{1}{18} = \frac{4.5}{81}, \quad \frac{5}{9} = \frac{45}{81}
]
Итак,
[
P(\text{один белый и один черный}) = \frac{4.5 + 45}{81} = \frac{49.5}{81}
]
в) Вероятность, что оба шара черные:
- Вероятность, что шар из первой урны черный:
[
P(A') = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}
]
- Вероятность, что шар из второй урны черный:
[
P(B') = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}
]
- Объединенная вероятность (оба шара черные):
[
P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = \frac{5}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{5}{18}
]
Задача 2:
Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка 0,75; для второго – 0,8; для третьего – 0,9.
а) Вероятность, что все три попадут в цель:
Для вычисления вероятности того, что все три стрелка попадут в цель, перемножим вероятности каждого из них:
[
P(\text{все попадут}) = P_1 \times P_2 \times P_3 = 0.75 \times 0.8 \times 0.9
]
Вычислим:
[
P(\text{все попадут}) = 0.75 \times 0.8 = 0.6
]
[
P(\text{все попадут}) = 0.6 \times 0.9 = 0.54
]
б) Вероятность, что в цель попадет хотя бы один стрелок:
Для нахождения этой вероятности проще воспользоваться законом сохранения:
[
P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\text{ни один не попадет})
]
Сначала найдем вероятность того, что каждый из стрелков не попадает в цель:
[
P(\text{первый не попал}) = 1 - 0.75 = 0.25
]
[
P(\text{второй не попал}) = 1 - 0.8 = 0.2
]
[
P(\text{третий не попал}) = 1 - 0.9 = 0.1
]
Теперь произведем вычисления:
[
P(\text{ни один не попадет}) = P(\text{первый не попал}) \times P(\text{второй не попал}) \times P(\text{третий не попал}) = 0.25 \times 0.2 \times 0.1
]
[
= 0.005
]
Следовательно:
[
P(\text{хотя бы один попадет}) = 1 - P(\text{ни один не попадет}) = 1 - 0.005 = 0.995
]
Ответы:
Задача 1:
- а) (\frac{1}{9})
- б) (\frac{49.5}{81})
- в) (\frac{5}{18})
Задача 2:
