Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 80°.Найдите градусную меру угла АОВ

Для решения задачи нам нужно использовать свойства касательных к окружности и углов.

Шаг 1: Понимание и обозначение элементов

• Пусть \( O \) — центр окружности.
• Касательные к окружности в точках \( A \) и \( B \) пересекаются в некоторой точке \( P \) под углом \( \angle APB = 80^\circ \).

По свойству касательных к окружности:

• Угол между касательной и радиусом, проведённым в точку касания, составляет 90°. То есть: \[ \angle OAP = 90^\circ \quad \text{и} \quad \angle OBP = 90^\circ \]

Шаг 2: Применение свойств углов

Угол \( \angle AOB \) можно выразить через угол \( \angle APB \). В этом случае, мы видим, что:

• Угол \( \angle APB \) разделяет угол \( \angle AOB \) на два равных угла: \[ \angle AOB = \angle OAP + \angle OBP + \angle APB \]

Так как \( \angle OAP = 90^\circ \) и \( \angle OBP = 90^\circ \): \[ \angle AOB = 90^\circ + 90^\circ - \angle APB \] Обратите внимание, что нам нужно вычесть угол \( \angle APB \) из суммы 180°, так как эти три угла составляют развернутый угол вокруг точки P:

\[ \angle AOB = 180^\circ - \angle APB \]

Шаг 3: Подстановка значений и вычисление

Теперь подставим известное значение \( \angle APB = 80^\circ \):

\[ \angle AOB = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \]

Шаг 4: Ответ

Таким образом, градусная мера угла \( AOB \) составит \( 100^\circ \).

Ответ: \( 100^\circ \)