Решите

Давайте разберём каждую задачу по порядку. 1. **Найдите площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной 6 см.** Для нахождения площади круга, вписанного в правильный треугольник, сначала определим радиус этого круга. Формула для радиуса вписанного круга \( r \) в правильный треугольник со стороной \( a \) равна: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] Подставим \( a = 6 \): \[ r = \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \] Площадь круга \( S \) можно найти по формуле: \[ S = \pi r^2 = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi \] **Ответ:** Площадь круга \( 3\pi \). 2. **Найдите площадь круга, описанного около правильного треугольника со стороной 5 см.** Радиус описанного круга \( R \) для правильного треугольника вычисляется по формуле: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Подставим \( a = 5 \): \[ R = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \] Площадь круга \( S \) равна: \[ S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{25 \pi \cdot 3}{9} = \frac{25 \pi}{3} \] **Ответ:** Площадь круга \( \frac{25\pi}{3} \). 3. **Радиус окружности, описанной около многоугольника, равен 5 см. Найдите площадь сектора этой окружности, соответствующего углу 45 градусов.** Площадь сектора \( S \) окружности может быть найдена по форме: \[ S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi R^2 \] где \( \theta = 45^\circ \) и \( R = 5 \): \[ S = \frac{45}{360} \cdot \pi \cdot 5^2 = \frac{1}{8} \cdot \pi \cdot 25 = \frac{25\pi}{8} \] **Ответ:** Площадь сектора \( \frac{25\pi}{8} \). 4. **Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 8 см. Найдите количество сторон многоугольника, если площадь многоугольника равна 64 см².** Для правильного многоугольника формула площади через радиус описанной окружности \( R \) и количество сторон \( n \) следующая: \[ S = \frac{n}{2} \cdot R^2 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right) \] У нас известно, что \( S = 64 \) и \( R = 8 \). Подставим значения и решим: \[ 64 = \frac{n}{2} \cdot 64 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right) \] Упростим: \[ 1 = \frac{n}{2} \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right) \] Решить это уравнение аналитически без дополнительных данных сложно; оно требует численного метода или перебора для конкретных \( n \). Часто используется, когда \( n = 3, 4, 5, 6 \) и так далее для нахождения соответствия. 5. **Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен 8 см, а градусная мера дуги элемента равна 120°.** Подобно предыдущей задаче о секторе: \[ S = \frac{120}{360} \cdot \pi \cdot 8^2 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 64 = \frac{64\pi}{3} \] **Ответ:** Площадь сектора \( \frac{64\pi}{3} \).