На числовой прямой даны три отрезка: P  =  [13; 31], Q [18; 80] и R  =  [48; 114]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого формула ¬((x ∈ Q) → ((x ∈ P)∨(x ∈ R))) → (¬(x ∈ A) → ¬(x ∈ Q)) тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х).

Чтобы решить данную задачу, начнем с формулировки и анализа логической конструкции. **Формула:** ¬((x ∈ Q) → ((x ∈ P)∨(x ∈ R))) → (¬(x ∈ A) → ¬(x ∈ Q)) ### Шаг 1: Понимание логических операций 1. **Импликация:** \( A \to B \) эквивалентна \( \neg A \lor B \). Это означает, что "если A, то B" истинно, если A ложно или B истинно. 2. **Отрицание:** \( \neg (A \to B) \) эквивалентно \( A \land \neg B \). 3. Мы можем преобразовать первую часть формулы: - \( \neg((x ∈ Q) → ((x ∈ P) ∨ (x ∈ R))) \) становится \( (x ∈ Q) \land \neg((x ∈ P) ∨ (x ∈ R)) \), что равно \( (x ∈ Q) \land (x ∉ P) \land (x ∉ R) \). ### Шаг 2: Запись всей формулы Можно перезаписать формулу как: \[ (x ∈ Q) \land (x ∉ P) \land (x ∉ R) \to (¬(x ∈ A) → ¬(x ∈ Q)) \] ### Шаг 3: Анализ реквизитов отрезков P, Q и R Мы имеем три отрезка: - \( P = [13; 31] \) - \( Q = [18; 80] \) - \( R = [48; 114] \) Теперь найдем, где находится пересечение отрезков: - Отрезок Q пересекается с P на \([18; 31]\) и с R на \([48; 80]\). ### Шаг 4: Ищем значения, которые удовлетворяют формуле Для того чтобы формула была тождественно истинна, необходимо выяснить, когда срабатывает левая часть: \[ (x ∈ Q) \land (x ∉ P) \land (x ∉ R) \] 1. **Определим, что значит \( x ∈ Q \):** - Для \( x \) из \( Q = [18; 80] \) 2. **Условия на отсутствие в P и R:** - \( x ∉ P \): это значит, что \( x < 13 \) или \( x > 31 \). - \( x ∉ R \): это значит, что \( x < 48 \) или \( x > 114 \). 3. **Композитные условия:** - Нам нужно, чтобы \( x \) было в Q, но не в P и не в R. ### Шаг 5: Находим такие значения x Только верхняя часть \( Q \) будет заинтересована, чтобы \( x \) был одновременно и в Q, и за пределами P и R: - Значит \( x ∈ [32; 48) \) (так как отрезок P заканчивается на 31, a R начинается с 48). ### Шаг 6: Подбор A Чтобы формула была тождественно истинна, необходимо, чтобы \( A \) включал числа, потенциально исключающие значения из \( Q \) для определения \( ¬(x ∈ A) → ¬(x ∈ Q) \). Таким образом, \( A \) не должно включать 32-47. Таким образом, минимальная длина отрезка A, который включает 32 и заканчивается на 48, чтобы исключить все значения, которые могли бы быть в Q, равна: \[ Длина(A) = 48 - 32 = 16 \] ### Ответ Таким образом, наименьшая возможная длина отрезка A равна **16**.