На числовой прямой даны три отрезка: P = [13; 31], Q [18; 80] и R = [48; 114]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого формула ¬((x ∈ Q) → ((x ∈ P)∨(x ∈…

Чтобы решить данную задачу, начнем с формулировки и анализа логической конструкции.

Формула:
¬((x ∈ Q) → ((x ∈ P)∨(x ∈ R))) → (¬(x ∈ A) → ¬(x ∈ Q))

Шаг 1: Понимание логических операций

1. Импликация: \( A \to B \) эквивалентна \( \neg A \lor B \). Это означает, что "если A, то B" истинно, если A ложно или B истинно.

2. Отрицание: \( \neg (A \to B) \) эквивалентно \( A \land \neg B \).

3. Мы можем преобразовать первую часть формулы:

   • \( \neg((x ∈ Q) → ((x ∈ P) ∨ (x ∈ R))) \) становится \( (x ∈ Q) \land \neg((x ∈ P) ∨ (x ∈ R)) \), что равно \( (x ∈ Q) \land (x ∉ P) \land (x ∉ R) \).

Шаг 2: Запись всей формулы

Можно перезаписать формулу как: \[ (x ∈ Q) \land (x ∉ P) \land (x ∉ R) \to (¬(x ∈ A) → ¬(x ∈ Q)) \]

Шаг 3: Анализ реквизитов отрезков P, Q и R

Мы имеем три отрезка:

• \( P = [13; 31] \)
• \( Q = [18; 80] \)
• \( R = [48; 114] \)

Теперь найдем, где находится пересечение отрезков:

• Отрезок Q пересекается с P на \([18; 31]\) и с R на \([48; 80]\).

Шаг 4: Ищем значения, которые удовлетворяют формуле

Для того чтобы формула была тождественно истинна, необходимо выяснить, когда срабатывает левая часть:

\[ (x ∈ Q) \land (x ∉ P) \land (x ∉ R) \]

1. Определим, что значит \( x ∈ Q \):

   • Для \( x \) из \( Q = [18; 80] \)

2. Условия на отсутствие в P и R:

   • \( x ∉ P \): это значит, что \( x < 13 \) или \( x > 31 \).
   • \( x ∉ R \): это значит, что \( x < 48 \) или \( x > 114 \).

3. Композитные условия:

   • Нам нужно, чтобы \( x \) было в Q, но не в P и не в R.

Шаг 5: Находим такие значения x

Только верхняя часть \( Q \) будет заинтересована, чтобы \( x \) был одновременно и в Q, и за пределами P и R:

• Значит \( x ∈ [32; 48) \) (так как отрезок P заканчивается на 31, a R начинается с 48).

Шаг 6: Подбор A

Чтобы формула была тождественно истинна, необходимо, чтобы \( A \) включал числа, потенциально исключающие значения из \( Q \) для определения \( ¬(x ∈ A) → ¬(x ∈ Q) \). Таким образом, \( A \) не должно включать 32-47.

Таким образом, минимальная длина отрезка A, который включает 32 и заканчивается на 48, чтобы исключить все значения, которые могли бы быть в Q, равна:

\[ Длина(A) = 48 - 32 = 16 \]

Ответ

Таким образом, наименьшая возможная длина отрезка A равна 16.