найдите координаты вершины с параллелограмма abcd, если a(-5; -5), b (-9; -5), d (1; 2).
Для нахождения координат вершины параллелограмма \(ABCD\), когда известны координаты трёх его вершин \(A(-5; -5)\), \(B(-9; -5)\) и \(D(1; 2)\), воспользуемся свойством, что диагонали параллелограмма пересекаются в середине.
Запишем координаты вершины:
- \(A(x_1; y_1) = (-5; -5)\)
- \(B(x_2; y_2) = (-9; -5)\)
- \(D(x_3; y_3) = (1; 2)\)
- \(C(x_4; y_4)\) — это координаты, которые мы ищем.
Вспомним, что середина диагонали \(AC\) равна средней точке диагонали \(BD\). Это означает, что: \[ M_{AC} = M_{BD} \]
Найдём среднюю точку диагонали \(BD\): Сначала найдём координаты средней точки \(M_{BD}\): \[ M_{BD} = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}; \frac{y_2 + y_3}{2} \right) \] Подставляем значения: \[ M_{BD} = \left( \frac{-9 + 1}{2}; \frac{-5 + 2}{2} \right) = \left( \frac{-8}{2}; \frac{-3}{2} \right) = (-4; -1.5) \]
Теперь найдём координаты средней точки диагонали \(AC\): \[ M_{AC} = \left( \frac{x_1 + x_4}{2}; \frac{y_1 + y_4}{2} \right) \] Поскольку мы знаем координаты \(A\), можем подставить их: \[ M_{AC} = \left( \frac{-5 + x_4}{2}; \frac{-5 + y_4}{2} \right) \]
Теперь равенство средних точек: Равенство средней точки даёт нам систему уравнений: \[ \frac{-5 + x_4}{2} = -4 \] \[ \frac{-5 + y_4}{2} = -1.5 \]
Решаем эти уравнения по очереди:
Первое уравнение: \[ -5 + x_4 = -8 \implies x_4 = -8 + 5 = -3 \]
Второе уравнение: \[ -5 + y_4 = -3 \implies y_4 = -3 + 5 = 2 \]
Итак, координаты вершины \(C\): \[ C(-3; 2) \]
Таким образом, координаты вершины параллелограмма \(C\) равны \((-3; 2)\).
Обсуждение
2 сообщенияможно поподробнее
Конечно, давайте подробно рассмотрим процесс нахождения координат вершины параллелограмма \( C \) с известными координатами трёх его вершин \( A \), \( B \) и \( D \).
Дано:
- Вершина \( A(-5; -5) \)
- Вершина \( B(-9; -5) \)
- Вершина \( D(1; 2) \)
Нам нужно найтиCoordinates вершины \( C \).
Свойства параллелограмма: В параллелограмме диагонали пересекаются в середине и обе диагонали равны по длине. Это означает, что координаты средней точки одной диагонали равны координатам средней точки другой диагонали.
Находим среднюю точку диагонали \( BD \): Для нахождения средней точки отрезка \( BD \) используем формулу для средней точки \( M \): \[ M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}; \frac{y_B + y_D}{2} \right) \]
Подставим координаты \( B(-9; -5) \) и \( D(1; 2) \): \[ M_{BD} = \left( \frac{-9 + 1}{2}; \frac{-5 + 2}{2} \right) = \left( \frac{-8}{2}; \frac{-3}{2} \right) = (-4; -1.5) \]
Теперь найдём среднюю точку диагонали \( AC \): Используем формулу для средней точки \( M_{AC} \): \[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2} \right) \]
Подставим известные координаты \( A(-5; -5) \) и \( C(x_C; y_C) \): \[ M_{AC} = \left( \frac{-5 + x_C}{2}; \frac{-5 + y_C}{2} \right) \]
Сравниваем координаты средней точки: Поскольку точки \( M_{AC} \) и \( M_{BD} \) совпадают, мы можем приравнять их координаты: \[ \frac{-5 + x_C}{2} = -4 \quad (1) \] \[ \frac{-5 + y_C}{2} = -1.5 \quad (2) \]
Решаем первое уравнение: Умножим обе стороны первого уравнения на 2: \[ -5 + x_C = -8 \]
Переносим \(-5\) на правую сторону: \[ x_C = -8 + 5 = -3 \]
Решаем второе уравнение: Умножим обе стороны второго уравнения на 2: \[ -5 + y_C = -3 \]
Переносим \(-5\) на правую сторону: \[ y_C = -3 + 5 = 2 \]
Итак, координаты вершины \( C \): Мы нашли, что координаты вершины \( C \) равны: \[ C(-3; 2) \]
Результат:
Координаты вершины \( C \) параллелограмма \( ABCD \) равны \( (-3; 2) \).
