На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки М и № соответственно. Известно, что AM AB 3:7 и AN: AC3 5. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АММ…

Для решения задачи определим, что нам нужно найти площадь треугольника \( \triangle ABC \), зная площадь треугольника \( \triangle AMN \) и соотношения отрезков на сторонах.

1. Запишем данные задачи:

   • Площадь треугольника \( \triangle AMN = 18 \).
   • Отношение отрезков на стороне \( AB: AM = 7:3 \).
   • Отношение отрезков на стороне \( AC: AN = 3:5 \).

2. Обозначим стороны треугольника:

   • Пусть \( AM = 3k \) и \( MB = 7k \) (где \( k \) - некоторый положительный коэффициент).

   • Тогда длина стороны \( AB \) будет равна: \[ AB = AM + MB = 3k + 7k = 10k. \]

   • Аналогично для стороны \( AC \): Пусть \( AN = 3m \) и \( NC = 5m \) (где \( m \) - некоторый положительный коэффициент).

   • Тогда длина стороны \( AC \) будет равна: \[ AC = AN + NC = 3m + 5m = 8m. \]

3. Выражаем площадь треугольника \( \triangle ABC \):

   • Площадь треугольника пропорциональна длине его оснований и высоте. Мы можем воспользоваться аналогией.

   • Площадь треугольника \( \triangle AMN \) можно выразить через площадь треугольника \( \triangle ABC \): \[ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC}. \]

4. Подставим известные отношения:

   • Используя данные отношения отрезков: \[ \frac{AM}{AB} = \frac{3k}{10k} = \frac{3}{10}, \] \[ \frac{AN}{AC} = \frac{3m}{8m} = \frac{3}{8}. \]
   • Тогда можно записать:

   \[ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{80}. \]

5. Теперь выразим площадь треугольника \( \triangle ABC \): \[ S_{AMN} = 18, \] \[ \frac{18}{S_{ABC}} = \frac{9}{80} \implies S_{ABC} = 18 \cdot \frac{80}{9}. \]

   • Вычислим: \[ S_{ABC} = 18 \cdot \frac{80}{9} = 160. \]

Таким образом, площадь треугольника \( \triangle ABC \) равна \( 160 \).

Ответ: Площадь треугольника \( ABC \) равна 160.