lg(3^2+12x+19)-lg(3x+4)=1
Для решения уравнения \( \lg(3^2 + 12x + 19) - \lg(3x + 4) = 1 \), начнем с применения свойства логарифмов, которое гласит, что \( \lg(a) - \lg(b) = \lg\left(\frac{a}{b}\right) \).
Шаг 1: Применяем свойство логарифмов
Применим это свойство к нашему уравнению:
\[ \lg(3^2 + 12x + 19) - \lg(3x + 4) = \lg\left(\frac{3^2 + 12x + 19}{3x + 4}\right) \]
Теперь мы можем переписать уравнение:
\[ \lg\left(\frac{3^2 + 12x + 19}{3x + 4}\right) = 1 \]
Шаг 2: Переводим логарифм в экспоненциальную форму
Логарифм по основанию 10 равен 1, если аргумент равен 10:
\[ \frac{3^2 + 12x + 19}{3x + 4} = 10 \]
Шаг 3: Умножаем обе стороны на \((3x + 4)\)
Теперь домножим обе стороны уравнения на \(3x + 4\):
\[ 3^2 + 12x + 19 = 10(3x + 4) \]
Шаг 4: Раскрываем скобки
Раскроем правую часть:
\[ 3^2 + 12x + 19 = 30x + 40 \]
И подставляем значение \(3^2 = 9\):
\[ 9 + 12x + 19 = 30x + 40 \]
Шаг 5: Упрощаем уравнение
Теперь упростим его:
\[ 28 + 12x = 30x + 40 \]
Шаг 6: Переносим все члены с x в одну сторону
Переносим \(12x\) в правую сторону, а 40 в левую:
\[ 28 - 40 = 30x - 12x \]
\[ -12 = 18x \]
Шаг 7: Находим x
Разделим обе стороны на 18:
\[ x = -\frac{12}{18} = -\frac{2}{3} \]
Шаг 8: Проверка решения
Теперь нужно проверить, не приводит ли найденное значение \(x\) к отрицательному аргументу в логарифме. Подставляем \(x = -\frac{2}{3}\) в выражения под логарифмами:
- \(3^2 + 12(-\frac{2}{3}) + 19 = 9 - 8 + 19 = 20\) (положительно)
- \(3(-\frac{2}{3}) + 4 = -2 + 4 = 2\) (положительно)
Оба выражения положительны, следовательно, решение допустимо.
Ответ
Таким образом, решение уравнения:
\[ x = -\frac{2}{3} \]
