Lg(3^2+12x+19)-lg(3x+4)=1

Для решения уравнения \( \lg(3^2 + 12x + 19) - \lg(3x + 4) = 1 \), начнем с применения свойства логарифмов, которое гласит, что \( \lg(a) - \lg(b) = \lg\left(\frac{a}{b}\right) \). ### Шаг 1: Применяем свойство логарифмов Применим это свойство к нашему уравнению: \[ \lg(3^2 + 12x + 19) - \lg(3x + 4) = \lg\left(\frac{3^2 + 12x + 19}{3x + 4}\right) \] Теперь мы можем переписать уравнение: \[ \lg\left(\frac{3^2 + 12x + 19}{3x + 4}\right) = 1 \] ### Шаг 2: Переводим логарифм в экспоненциальную форму Логарифм по основанию 10 равен 1, если аргумент равен 10: \[ \frac{3^2 + 12x + 19}{3x + 4} = 10 \] ### Шаг 3: Умножаем обе стороны на \((3x + 4)\) Теперь домножим обе стороны уравнения на \(3x + 4\): \[ 3^2 + 12x + 19 = 10(3x + 4) \] ### Шаг 4: Раскрываем скобки Раскроем правую часть: \[ 3^2 + 12x + 19 = 30x + 40 \] И подставляем значение \(3^2 = 9\): \[ 9 + 12x + 19 = 30x + 40 \] ### Шаг 5: Упрощаем уравнение Теперь упростим его: \[ 28 + 12x = 30x + 40 \] ### Шаг 6: Переносим все члены с x в одну сторону Переносим \(12x\) в правую сторону, а 40 в левую: \[ 28 - 40 = 30x - 12x \] \[ -12 = 18x \] ### Шаг 7: Находим x Разделим обе стороны на 18: \[ x = -\frac{12}{18} = -\frac{2}{3} \] ### Шаг 8: Проверка решения Теперь нужно проверить, не приводит ли найденное значение \(x\) к отрицательному аргументу в логарифме. Подставляем \(x = -\frac{2}{3}\) в выражения под логарифмами: 1. \(3^2 + 12(-\frac{2}{3}) + 19 = 9 - 8 + 19 = 20\) (положительно) 2. \(3(-\frac{2}{3}) + 4 = -2 + 4 = 2\) (положительно) Оба выражения положительны, следовательно, решение допустимо. ### Ответ Таким образом, решение уравнения: \[ x = -\frac{2}{3} \]