В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом с известно, что АС = √133, СВ = 6. Найдите длину разности векторов СА И СВ.

Давайте решим вашу задачу шаг за шагом.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в точке C у нас есть следующие данные:

• \( AC = \sqrt{133} \)
• \( CB = 6 \)

Нам нужно найти длину разности векторов \( \vec{CA} \) и \( \vec{CB} \).

Шаг 1: Нахождение длины вектора \( \vec{AB} \)

По теореме Пифагора, для любого прямоугольного треугольника сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

\[ AB^2 = AC^2 + CB^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ AB^2 = (\sqrt{133})^2 + 6^2 \]

Решаем:

\[ AC^2 = 133 \quad \text{и} \quad CB^2 = 36 \]

Поэтому:

\[ AB^2 = 133 + 36 = 169 \]

Теперь находим \( AB \):

\[ AB = \sqrt{169} = 13 \]

Шаг 2: Нахождение длины разности векторов

Чтобы векторы \( \vec{CA} \) и \( \vec{CB} \) можно было вычесть, мы можем воспользоваться формулой для длины разности двух векторов:

\[ |\vec{CA} - \vec{CB}| = \sqrt{|\vec{CA}|^2 + |\vec{CB}|^2 - 2|\vec{CA}||\vec{CB}|\cos\theta} \]

Где \( \theta \) — угол между векторами \( CA \) и \( CB \). В прямоугольном треугольнике угол между векторами CA и CB равен углу в C, это прямой угол, следовательно, \( \cos\theta = 0 \).

Упрощаем формулу, поскольку \( \cos\theta = 0 \):

\[ |\vec{CA} - \vec{CB}| = \sqrt{|\vec{CA}|^2 + |\vec{CB}|^2} \]

Теперь подставляем значения. Длину вектора \( CA \) мы знаем (\( |\vec{CA}| = \sqrt{133} \)), и длину вектора \( CB \) тоже знаем (\( |\vec{CB}| = 6 \)):

\[ |\vec{CA}|^2 = 133, \quad |\vec{CB}|^2 = 36 \]

И теперь можем найти длину разности:

\[ |\vec{CA} - \vec{CB}| = \sqrt{133 + 36} = \sqrt{169} \]

Находим корень:

\[ |\vec{CA} - \vec{CB}| = 13 \]

Ответ

Длина разности векторов \( \vec{CA} \) и \( \vec{CB} \) составляет 13.