Давайте решим вашу задачу шаг за шагом.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в точке C у нас есть следующие данные:
- ( AC = \sqrt{133} )
- ( CB = 6 )
Нам нужно найти длину разности векторов ( \vec{CA} ) и ( \vec{CB} ).
Шаг 1: Нахождение длины вектора ( \vec{AB} )
По теореме Пифагора, для любого прямоугольного треугольника сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
[
AB^2 = AC^2 + CB^2
]
Подставляем известные значения:
[
AB^2 = (\sqrt{133})^2 + 6^2
]
Решаем:
[
AC^2 = 133 \quad \text{и} \quad CB^2 = 36
]
Поэтому:
[
AB^2 = 133 + 36 = 169
]
Теперь находим ( AB ):
[
AB = \sqrt{169} = 13
]
Шаг 2: Нахождение длины разности векторов
Чтобы векторы ( \vec{CA} ) и ( \vec{CB} ) можно было вычесть, мы можем воспользоваться формулой для длины разности двух векторов:
[
|\vec{CA} - \vec{CB}| = \sqrt{|\vec{CA}|^2 + |\vec{CB}|^2 - 2|\vec{CA}||\vec{CB}|\cos\theta}
]
Где ( \theta ) — угол между векторами ( CA ) и ( CB ). В прямоугольном треугольнике угол между векторами CA и CB равен углу в C, это прямой угол, следовательно, ( \cos\theta = 0 ).
Упрощаем формулу, поскольку ( \cos\theta = 0 ):
[
|\vec{CA} - \vec{CB}| = \sqrt{|\vec{CA}|^2 + |\vec{CB}|^2}
]
Теперь подставляем значения. Длину вектора ( CA ) мы знаем (( |\vec{CA}| = \sqrt{133} )), и длину вектора ( CB ) тоже знаем (( |\vec{CB}| = 6 )):
[
|\vec{CA}|^2 = 133, \quad |\vec{CB}|^2 = 36
]
И теперь можем найти длину разности:
[
|\vec{CA} - \vec{CB}| = \sqrt{133 + 36} = \sqrt{169}
]
Находим корень:
[
|\vec{CA} - \vec{CB}| = 13
]
Ответ
Длина разности векторов ( \vec{CA} ) и ( \vec{CB} ) составляет 13.
