Давайте решим задачу, шаг за шагом.
В прямоугольном треугольнике (MNK) у нас есть следующие углы:
- (\angle N = 90^\circ) (прямой угол),
- (\angle K = 60^\circ).
Так как сумма углов треугольника равна (180^\circ), мы можем найти угол (\angle M):
[
\angle M = 180^\circ - \angle N - \angle K = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ.
]
Теперь у нас есть все углы треугольника. Мы можем использовать соотношение в прямоугольном треугольнике, чтобы найти длины сторон.
Обозначим:
- (MK) — гипотенуза,
- (NK) — противолежащая сторона к углу (K) (угол (60^\circ)),
- (MN) — прилежащая сторона к углу (K).
Согласно тригонометрическим отношениям для двойного угла, мы имеем:
[
\sin(60^\circ) = \frac{NK}{MK},
]
[
\cos(60^\circ) = \frac{MN}{MK}.
]
Сначала найдем (MK) и (NK):
Согласно задаче, известно, что (MK + NK = 11.7) мм.
Из войлосипедного отношения для угла (60^\circ):
[
\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow NK = MK \cdot \sin(60^\circ) = MK \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
]
Подставим это в уравнение (MK + NK = 11.7) мм:
[
MK + MK \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 11.7.
]
Теперь вынесем (MK) за скобки:
[
MK \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 11.7.
]
Сначала посчитаем значение (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}):
[
1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}.
]
Теперь подставим это обратно в уравнение:
[
MK \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 11.7.
]
Умножим обе стороны на (2):
[
MK \cdot (2 + \sqrt{3}) = 23.4.
]
Теперь найдем (MK):
[
MK = \frac{23.4}{2 + \sqrt{3}}.
]
Теперь нам нужно вычислить это значение. Сначала используем численное значение (\sqrt{3} \approx 1.732):
[
2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1.732 = 3.732.
]
Теперь найдём (MK):
[
MK \approx \frac{23.4}{3.732} \approx 6.28 \text{ мм}.
]
Таким образом, численное значение гипотенузы (MK) приблизительно равно (6.28) мм.
Итак, ответ:
[
MK \approx 6.28 \text{ мм}.
]
