В прямоугольном треугольнике M N K MNK ∠ N = 90 ° ∠N=90° , ∠ K = 6 0 ∘ ∠K=60 ∘ . Чему равно численное значение гипотенузы M K MK , если M K + N K = 11 , 7 MK+NK=11,7 мм?

Давайте решим задачу, шаг за шагом.

В прямоугольном треугольнике \(MNK\) у нас есть следующие углы:

• \(\angle N = 90^\circ\) (прямой угол),
• \(\angle K = 60^\circ\).

Так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), мы можем найти угол \(\angle M\):

\[ \angle M = 180^\circ - \angle N - \angle K = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ. \]

Теперь у нас есть все углы треугольника. Мы можем использовать соотношение в прямоугольном треугольнике, чтобы найти длины сторон.

Обозначим:

• \(MK\) — гипотенуза,
• \(NK\) — противолежащая сторона к углу \(K\) (угол \(60^\circ\)),
• \(MN\) — прилежащая сторона к углу \(K\).

Согласно тригонометрическим отношениям для двойного угла, мы имеем:

\[ \sin(60^\circ) = \frac{NK}{MK}, \] \[ \cos(60^\circ) = \frac{MN}{MK}. \]

Сначала найдем \(MK\) и \(NK\): Согласно задаче, известно, что \(MK + NK = 11.7\) мм.

Из войлосипедного отношения для угла \(60^\circ\): \[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow NK = MK \cdot \sin(60^\circ) = MK \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Подставим это в уравнение \(MK + NK = 11.7\) мм:

\[ MK + MK \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 11.7. \]

Теперь вынесем \(MK\) за скобки:

\[ MK \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 11.7. \]

Сначала посчитаем значение \(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}. \]

Теперь подставим это обратно в уравнение:

\[ MK \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 11.7. \]

Умножим обе стороны на \(2\):

\[ MK \cdot (2 + \sqrt{3}) = 23.4. \]

Теперь найдем \(MK\):

\[ MK = \frac{23.4}{2 + \sqrt{3}}. \]

Теперь нам нужно вычислить это значение. Сначала используем численное значение \(\sqrt{3} \approx 1.732\):

\[ 2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1.732 = 3.732. \]

Теперь найдём \(MK\):

\[ MK \approx \frac{23.4}{3.732} \approx 6.28 \text{ мм}. \]

Таким образом, численное значение гипотенузы \(MK\) приблизительно равно \(6.28\) мм.

Итак, ответ:
\[ MK \approx 6.28 \text{ мм}. \]