Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 8 и не превосходящих 140.
Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 8 и не превышающих 140, давайте сначала определим, какие числа нам нужны.
Нашли числа, кратные 8: Кратные 8 числа — это 8, 16, 24, 32 и так далее. Мы можем представить их как: \[ 8 \cdot 1, 8 \cdot 2, 8 \cdot 3, \ldots \]
Определяем максимальное число: Нам нужно найти, какое максимальное число, кратное 8, не превышает 140. \[ 8 \cdot n \leq 140 \] Решим это неравенство: \[ n \leq \frac{140}{8} = 17.5 \] Это значит, что максимальное целое значение \(n = 17\). Таким образом, максимальное число, кратное 8, не превышающее 140: \[ 8 \cdot 17 = 136 \]
Определяем последовательность чисел: Получаем последовательность: \[ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, 128, 136 \] Это 17 чисел (от 1 до 17), каждое из которых кратно 8.
Суммируем чисела: Чтобы найти их сумму, воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]
- where \(n\) — количество членов (в нашем случае, \(17\)),
- \(a_1\) — первое число (8),
- \(a_n\) — последнее число (136).
Подставим значения: \[ S_{17} = \frac{17}{2} \cdot (8 + 136) = \frac{17}{2} \cdot 144 = 17 \cdot 72 = 1224 \]
Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 8 и не превышающих 140, равна 1224.
