Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 8 и не превосходящих 140.
Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 8 и не превышающих 140, давайте сначала определим, какие числа нам нужны.
1. **Нашли числа, кратные 8:**
Кратные 8 числа — это 8, 16, 24, 32 и так далее. Мы можем представить их как:
\[
8 \cdot 1, 8 \cdot 2, 8 \cdot 3, \ldots
\]
2. **Определяем максимальное число:**
Нам нужно найти, какое максимальное число, кратное 8, не превышает 140.
\[
8 \cdot n \leq 140
\]
Решим это неравенство:
\[
n \leq \frac{140}{8} = 17.5
\]
Это значит, что максимальное целое значение \(n = 17\). Таким образом, максимальное число, кратное 8, не превышающее 140:
\[
8 \cdot 17 = 136
\]
3. **Определяем последовательность чисел:**
Получаем последовательность:
\[
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, 128, 136
\]
Это 17 чисел (от 1 до 17), каждое из которых кратно 8.
4. **Суммируем чисела:**
Чтобы найти их сумму, воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии:
\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
\]
- where \(n\) — количество членов (в нашем случае, \(17\)),
- \(a_1\) — первое число (8),
- \(a_n\) — последнее число (136).
Подставим значения:
\[
S_{17} = \frac{17}{2} \cdot (8 + 136) = \frac{17}{2} \cdot 144 = 17 \cdot 72 = 1224
\]
Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 8 и не превышающих 140, равна **1224**.
