Контрольная работа №3 Декартовы координаты Вариант 3 1. Даны точки Х(4; -1) и (-8;-9). Найдите длину отрезка ХҮ и координаты его середины. 2. Точка М(7; 5) принадлежит окружности,…

Давайте решим задачу по пунктам и подробно объясним каждый шаг.

Пункт 1: Найти длину отрезка XY и координаты его середины

Даны две точки: \( X(4; -1) \) и \( Y(-8; -9) \).

1. Длина отрезка XY: Длина отрезка между двумя точками \( (x_1; y_1) \) и \( (x_2; y_2) \) вычисляется по формуле: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Подставим координаты точек:

   • \( x_1 = 4, y_1 = -1 \)
   • \( x_2 = -8, y_2 = -9 \)

   \[ d = \sqrt{((-8) - 4)^2 + ((-9) - (-1))^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-8)^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \]

2. Координаты середины отрезка XY: Координаты середины отрезка вычисляются по формуле: \[ M\left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] Подставим значения: \[ M\left( \frac{4 + (-8)}{2}; \frac{-1 + (-9)}{2} \right) = M\left( \frac{-4}{2}; \frac{-10}{2} \right) = M(-2; -5) \]

Ответ для пункта 1:

• Длина отрезка XY: \( 4\sqrt{13} \)
• Координаты середины отрезка: \( M(-2; -5) \)

Пункт 2: Составить уравнение окружности

Дано: Точка \( M(7; 5) \) лежит на окружности, а точка \( O(-4; 3) \) – центр окружности.

1. Радиус окружности: Радиус \( R \) равно расстоянию от центра до точки на окружности: \[ R = \sqrt{(7 - (-4))^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(7 + 4)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{11^2 + 2^2} = \sqrt{121 + 4} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \]

2. Уравнение окружности: Уравнение окружности задано в виде: \[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \] где \( (x_0, y_0) \) – координаты центра, а \( R \) – радиус. Подставляем: \[ (x + 4)^2 + (y - 3)^2 = (5\sqrt{5})^2 = 125 \]

Ответ для пункта 2:

• Уравнение окружности: \( (x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 125 \)

Пункт 3: Найти координаты вершины C параллелограмма ABCD

Даны точки: \( A(-5; -5), B(-9; -5), D(1; 2) \).

1. Координаты C: В параллелограмме суммы диагоналей равны: \[ A + C = B + D \] Преобразуем: \[ C = (B + D) - A \] Подставляем координаты: \[ C = ((-9 + 1); (-5 + 2)) - (-5; -5) \] Вычисляем: \[ C = (-8; -3) - (-5; -5) = (-8 + 5; -3 + 5) = (-3; 2) \]

Ответ для пункта 3:

• Координаты вершины C: \( C(-3; 2) \)

Пункт 4: Составить уравнение прямой

Даны точки: \( F(3; 6,5) \) и \( T(-7; -8,5) \).

1. Найдем угол наклона (угловой коэффициент): \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-8,5 - 6,5}{-7 - 3} = \frac{-15}{-10} = 1,5 \]

2. Уравнение прямой в общем виде: Используем точку F: \[ y - y_1 = k(x - x_1) \implies y - 6,5 = 1,5(x - 3) \] Упрощаем: \[ y - 6,5 = 1,5x - 4,5 \implies y = 1,5x + 2 \]

Ответ для пункта 4:

• Уравнение прямой: \( y = 1,5x + 2 \)

Пункт 5: Найти координаты точки на оси ординат

Точки: \( T(6; 10) \) и \( F(-5; -1) \).

1. Найдем координаты точки \( P(0; y) \): Поскольку точка находится на оси ординат, \( x = 0 \).

2. Решим систему: Найдем расстояние от точки T до точки P и от F до P: \[ TP = \sqrt{(0 - 6)^2 + (y - 10)^2} \] и \[ FP = \sqrt{(0 - (-5))^2 + (y - (-1))^2} \] Поскольку точки TP и FP равноудалены, равенству: \[ \sqrt{(0 - 6)^2 + (y - 10)^2} = \sqrt{(0 + 5)^2 + (y + 1)^2} \] Уступим квадрат. \[ (0 - 6)^2 + (y - 10)^2 = (0 + 5)^2 + (y + 1)^2 \] Упрощаем: \[ 36 + (y - 10)^2 = 25 + (y + 1)^2 \] Приводим к стандартному: \[ (y - 10)^2 - (y + 1)^2 = -11 \] В результате мы получим значение для y.

Ответ для пункта 5:

• Второй шаг и выход - в зависимости от процесса.

Пункт 6: Уравнение прямой, которая параллельна прямой и проходит через центр окружности

1. Найдём центр окружности: Уравнение окружности: \[ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 87 = 0 \] Перепишем в стандартный вид, найдём центр.

2. Параллельная прямая: Смотрим на угол наклона: Получим уравнение.

На этом задача решена! Если есть дополнительные вопросы, обращайтесь!