Решите систему уравнений x2+y2=58 x*y=21 способ подстановки или сложения

Для решения системы уравнений \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 58 \\ xy = 21 \end{cases} \] можно использовать метод подстановки.

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую

Сначала из второго уравнения \(xy = 21\) можем выразить \(y\) через \(x\): \[ y = \frac{21}{x} \]

Шаг 2: Подставим выражение во второе уравнение

Теперь подставим это значение \(y\) в первое уравнение \(x^2 + y^2 = 58\): \[ x^2 + \left(\frac{21}{x}\right)^2 = 58 \]

Теперь разложим выражение: \[ x^2 + \frac{441}{x^2} = 58 \]

Шаг 3: Умножим на \(x^2\) для избавления от дроби

Умножим всё уравнение на \(x^2\): \[ x^4 + 441 = 58x^2 \]

Шаг 4: Приведем все к одному корню уравнения

Теперь приведем все к одному уравнению: \[ x^4 - 58x^2 + 441 = 0 \]

Шаг 5: Заменим \(u = x^2\)

Обозначим \(u = x^2\). Тогда уравнение примет вид: \[ u^2 - 58u + 441 = 0 \]

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение

Теперь используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 441 = 3364 - 1764 = 1600 \]

Теперь находим корни уравнения: \[ u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 \pm \sqrt{1600}}{2} = \frac{58 \pm 40}{2} \]

1. \(u_1 = \frac{98}{2} = 49\)
2. \(u_2 = \frac{18}{2} = 9\)

Шаг 7: Находим \(x^2\) и \(y^2\)

Теперь вернемся к переменной \(x\):

1. Если \(u_1 = 49\), то \(x^2 = 49 \Rightarrow x = 7\) или \(x = -7\).
2. Если \(u_2 = 9\), то \(x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\) или \(x = -3\).

Теперь находим соответствующее \(y\):

• Для \(x = 7\): \[ y = \frac{21}{7} = 3 \]
• Для \(x = -7\): \[ y = \frac{21}{-7} = -3 \]
• Для \(x = 3\): \[ y = \frac{21}{3} = 7 \]
• Для \(x = -3\): \[ y = \frac{21}{-3} = -7 \]

Шаг 8: Запишем все возможные решения

Таким образом найденные пары \((x, y)\):

1. \((7, 3)\)
2. \((-7, -3)\)
3. \((3, 7)\)
4. \((-3, -7)\)

Это все возможные решения данной системы уравнений.