Дана геометрическая прогрессия 2,22

Конечно, разберём каждую из задач по шагам:

Вариант I:

1. Определите разность арифметической прогрессии: Формула для нахождения разности (d) арифметической прогрессии: \[ d = a_{n+1} - a_n \] Из условия задачи у нас нет конкретных данных, но обычно нужно из второго члена вычесть первый.

2. Выведите формулу для нахождения \(T_5\) арифметической прогрессии, где \(T_1 = 3\) и разность равна 5: Формула общего члена арифметической прогрессии: \[ T_n = T_1 + (n-1) \cdot d \] Для \(T_5\), где \(T_1 = 3\) и \(d = 5\): \[ T_5 = 3 + (5-1) \cdot 5 = 3 + 20 = 23 \]

3. Запишите формулу для суммы первых 20 членов геометрической прогрессии \(2, 6, 18, \ldots\): Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии: \[ S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Здесь \(a_1 = 2\) и знаменатель \(q\) можно найти как \(\frac{6}{2} = 3\). Для первых 20 членов: \[ S_{20} = 2 \frac{3^{20} - 1}{3 - 1} = 2 \frac{3^{20} - 1}{2} \] Упрощение этой формулы может потребовать вычисления \(3^{20}\).

4. Дана геометрическая прогрессия 2, 22. Запишите формулу n-го члена: Пример показан на основе формулы для n-го члена геометрической прогрессии: \[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \] Здесь \(a_1 = 2\), но \(q\) не определён из только двух данных чисел. Задача требует больше информации или расчёта разницы, если есть четко последовательность.

Вариант II:

1. Определите сумму 80 элементов последовательности 5, 9, 13, 17, \ldots: Это арифметическая прогрессия с \(T_1 = 5\) и \(d = 4\). Сумма первых \(n\) членов: \[ S_n = \frac{n}{2} (2T_1 + (n-1) \cdot d) \] Для 80 членов: \[ S_{80} = \frac{80}{2} \cdot (2 \times 5 + (80-1) \times 4) = 40 \times (10 + 316) = 40 \times 326 = 13040 \]

2. Дана геометрическая прогрессия \(5, 20, 80, \ldots\). Запишите формулу n-го члена. Это геометрическая прогрессия с \(a_1 = 5\) и \(q = \frac{20}{5} = 4\). Формула n-го члена: \[ a_n = 5 \cdot 4^{n-1} \]

3. Заполните пропуски в последовательности: \(5, \_, 5,375\): Это геометрическая прогрессия. Оставлено место для одного члена. Формула для членов: \[ a_2 = 5 \cdot q = 5,375 \] Здесь \(q\) не указано напрямую, но его можно вычислить.

Если есть дополнительные детали или вопросы, сообщите!