Реши неравенство  x 2 − 121 27 − x ≤ 0 27−x x 2 −121 ​ ≤0 методом интервалов и выбери получившиеся промежутки.

Решим неравенство \( \frac{x^2 - 121}{27 - x} \leq 0 \) методом интервалов. ### Шаг 1: Найдём нули числителя и знаменателя 1. **Найдем нули числителя**: Для того чтобы найти корни числителя \( x^2 - 121 = 0 \), мы можем разложить его на множители: \[ x^2 - 121 = (x - 11)(x + 11) = 0. \] Это даёт нам два корня: \[ x = 11 \quad \text{и} \quad x = -11. \] 2. **Найдем нули знаменателя**: Знаменатель равен нулю, когда \( 27 - x = 0 \), что даёт: \[ x = 27. \] ### Шаг 2: Определим интервалы Теперь мы имеем три ключевых значения: \( x = -11 \), \( x = 11 \) и \( x = 27 \). Эти значения разделяют числовую ось на четыре интервала: 1. \( (-\infty, -11) \) 2. \( (-11, 11) \) 3. \( (11, 27) \) 4. \( (27, +\infty) \) ### Шаг 3: Проверка знаков на интервалах Выберем тестовые точки из каждого из интервалов и определим знак выражения \( \frac{x^2 - 121}{27 - x} \). 1. **Интервал \( (-\infty, -11) \)**: Тестовая точка: \( x = -12 \) \[ x^2 - 121 = 144 - 121 = 23 \quad (\text{положительно}) \] \[ 27 - x = 27 + 12 = 39 \quad (\text{положительно}) \] Знак: \( \frac{23}{39} > 0 \) 2. **Интервал \( (-11, 11) \)**: Тестовая точка: \( x = 0 \) \[ x^2 - 121 = 0 - 121 = -121 \quad (\text{отрицательно}) \] \[ 27 - x = 27 - 0 = 27 \quad (\text{положительно}) \] Знак: \( \frac{-121}{27} < 0 \) 3. **Интервал \( (11, 27) \)**: Тестовая точка: \( x = 20 \) \[ x^2 - 121 = 400 - 121 = 279 \quad (\text{положительно}) \] \[ 27 - x = 27 - 20 = 7 \quad (\text{положительно}) \] Знак: \( \frac{279}{7} > 0 \) 4. **Интервал \( (27, +\infty) \)**: Тестовая точка: \( x = 30 \) \[ x^2 - 121 = 900 - 121 = 779 \quad (\text{положительно}) \] \[ 27 - x = 27 - 30 = -3 \quad (\text{отрицательно}) \] Знак: \( \frac{779}{-3} < 0 \) ### Шаг 4: Объединим результаты Теперь мы знаем знаки на интервалах: - На \( (-\infty, -11) \): знак положителен - На \( (-11, 11) \): знак отрицателен - На \( (11, 27) \): знак положителен - На \( (27, +\infty) \): знак отрицателен ### Шаг 5: Найдем промежутки Мы ищем, где \( \frac{x^2 - 121}{27 - x} \leq 0 \). Это выполняется: - На интервале \( (-11, 11) \) (где знак отрицателен) - На интервале \( (27, +\infty) \) (где знак отрицателен) Также проверяем, включить ли границы: - На границах \( x = -11 \) и \( x = 11 \) числитель равен нулю, следовательно, выражение равно нулю, что допустимо. - На \( x = 27 \) знаменатель равен нулю, выражение не определено. ### Ответ Таким образом, конечный ответ: \[ x \in [-11, 11] \cup (27, +\infty) \]