Реши неравенство x 2 − 121 27 − x ≤ 0 27−x x 2 −121 ​ ≤0 методом интервалов и выбери получившиеся промежутки.

Решим неравенство \( \frac{x^2 - 121}{27 - x} \leq 0 \) методом интервалов.

Шаг 1: Найдём нули числителя и знаменателя

1. Найдем нули числителя: Для того чтобы найти корни числителя \( x^2 - 121 = 0 \), мы можем разложить его на множители: \[ x^2 - 121 = (x - 11)(x + 11) = 0. \] Это даёт нам два корня: \[ x = 11 \quad \text{и} \quad x = -11. \]

2. Найдем нули знаменателя: Знаменатель равен нулю, когда \( 27 - x = 0 \), что даёт: \[ x = 27. \]

Шаг 2: Определим интервалы

Теперь мы имеем три ключевых значения: \( x = -11 \), \( x = 11 \) и \( x = 27 \). Эти значения разделяют числовую ось на четыре интервала:

1. \( (-\infty, -11) \)
2. \( (-11, 11) \)
3. \( (11, 27) \)
4. \( (27, +\infty) \)

Шаг 3: Проверка знаков на интервалах

Выберем тестовые точки из каждого из интервалов и определим знак выражения \( \frac{x^2 - 121}{27 - x} \).

1. Интервал \( (-\infty, -11) \): Тестовая точка: \( x = -12 \) \[ x^2 - 121 = 144 - 121 = 23 \quad (\text{положительно}) \] \[ 27 - x = 27 + 12 = 39 \quad (\text{положительно}) \] Знак: \( \frac{23}{39} > 0 \)

2. Интервал \( (-11, 11) \): Тестовая точка: \( x = 0 \) \[ x^2 - 121 = 0 - 121 = -121 \quad (\text{отрицательно}) \] \[ 27 - x = 27 - 0 = 27 \quad (\text{положительно}) \] Знак: \( \frac{-121}{27} < 0 \)

3. Интервал \( (11, 27) \): Тестовая точка: \( x = 20 \) \[ x^2 - 121 = 400 - 121 = 279 \quad (\text{положительно}) \] \[ 27 - x = 27 - 20 = 7 \quad (\text{положительно}) \] Знак: \( \frac{279}{7} > 0 \)

4. Интервал \( (27, +\infty) \): Тестовая точка: \( x = 30 \) \[ x^2 - 121 = 900 - 121 = 779 \quad (\text{положительно}) \] \[ 27 - x = 27 - 30 = -3 \quad (\text{отрицательно}) \] Знак: \( \frac{779}{-3} < 0 \)

Шаг 4: Объединим результаты

Теперь мы знаем знаки на интервалах:

• На \( (-\infty, -11) \): знак положителен
• На \( (-11, 11) \): знак отрицателен
• На \( (11, 27) \): знак положителен
• На \( (27, +\infty) \): знак отрицателен

Шаг 5: Найдем промежутки

Мы ищем, где \( \frac{x^2 - 121}{27 - x} \leq 0 \). Это выполняется:

• На интервале \( (-11, 11) \) (где знак отрицателен)
• На интервале \( (27, +\infty) \) (где знак отрицателен)

Также проверяем, включить ли границы:

• На границах \( x = -11 \) и \( x = 11 \) числитель равен нулю, следовательно, выражение равно нулю, что допустимо.
• На \( x = 27 \) знаменатель равен нулю, выражение не определено.

Ответ

Таким образом, конечный ответ:

\[ x \in [-11, 11] \cup (27, +\infty) \]