Найдите сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии (bn), если известно, что b6 = -14, b9 = -7/4
Для решения задачи о нахождении суммы первых четырёх членов геометрической прогрессии (ГП), начнем с анализа предоставленной информации.
Дано:
- \( b_6 = -14 \)
- \( b_9 = -\frac{7}{4} \)
Обозначим первый член прогрессии как \( b_1 = a \), а знаменатель прогрессии как \( q \). Тогда члены прогрессии можно описать следующим образом:
\[ b_n = a \cdot q^{n-1} \]
Следовательно, для заданных членов будет:
\[ b_6 = a \cdot q^{5} = -14 \quad (1) \] \[ b_9 = a \cdot q^{8} = -\frac{7}{4} \quad (2) \]
Теперь разделим уравнение (2) на уравнение (1):
\[ \frac{b_9}{b_6} = \frac{a \cdot q^{8}}{a \cdot q^{5}} = \frac{-\frac{7}{4}}{-14} \]
Упростим левую часть:
\[ \frac{b_9}{b_6} = q^{3} \]
С правой стороны получаем:
\[ \frac{-\frac{7}{4}}{-14} = \frac{7}{4 \cdot 14} = \frac{7}{56} = \frac{1}{8} \]
Теперь у нас есть уравнение:
\[ q^{3} = \frac{1}{8} \]
Отсюда находим \( q \):
\[ q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} \]
Теперь подставим значение \( q \) обратно в одно из исходных уравнений, чтобы найти \( a \). Используем уравнение (1):
\[ a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = -14 \]
Сначала вычислим \( \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{1}{32} \):
\[ a \cdot \frac{1}{32} = -14 \]
Теперь умножим обе стороны на 32:
\[ a = -14 \cdot 32 = -448 \]
Теперь, когда мы нашли \( a \) и \( q \), можем вычислить первые четыре члена прогрессии:
\[ b_1 = a = -448 \] \[ b_2 = a \cdot q = -448 \cdot \frac{1}{2} = -224 \] \[ b_3 = a \cdot q^2 = -448 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = -448 \cdot \frac{1}{4} = -112 \] \[ b_4 = a \cdot q^3 = -448 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = -448 \cdot \frac{1}{8} = -56 \]
Теперь давайте найдем сумму первых четырех членов:
\[ S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 \] \[ S_4 = -448 - 224 - 112 - 56 \]
Теперь сложим эти числа:
\[ S_4 = -448 - 224 = -672 \] \[ S_4 = -672 - 112 = -784 \] \[ S_4 = -784 - 56 = -840 \]
Таким образом, сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна \( \boxed{-840} \).
