Найдите сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии (bn), если известно, что b6 = -14, b9 = -7/4

Для решения задачи о нахождении суммы первых четырёх членов геометрической прогрессии (ГП), начнем с анализа предоставленной информации. Дано: - \( b_6 = -14 \) - \( b_9 = -\frac{7}{4} \) Обозначим первый член прогрессии как \( b_1 = a \), а знаменатель прогрессии как \( q \). Тогда члены прогрессии можно описать следующим образом: \[ b_n = a \cdot q^{n-1} \] Следовательно, для заданных членов будет: \[ b_6 = a \cdot q^{5} = -14 \quad (1) \] \[ b_9 = a \cdot q^{8} = -\frac{7}{4} \quad (2) \] Теперь разделим уравнение (2) на уравнение (1): \[ \frac{b_9}{b_6} = \frac{a \cdot q^{8}}{a \cdot q^{5}} = \frac{-\frac{7}{4}}{-14} \] Упростим левую часть: \[ \frac{b_9}{b_6} = q^{3} \] С правой стороны получаем: \[ \frac{-\frac{7}{4}}{-14} = \frac{7}{4 \cdot 14} = \frac{7}{56} = \frac{1}{8} \] Теперь у нас есть уравнение: \[ q^{3} = \frac{1}{8} \] Отсюда находим \( q \): \[ q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} \] Теперь подставим значение \( q \) обратно в одно из исходных уравнений, чтобы найти \( a \). Используем уравнение (1): \[ a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = -14 \] Сначала вычислим \( \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{1}{32} \): \[ a \cdot \frac{1}{32} = -14 \] Теперь умножим обе стороны на 32: \[ a = -14 \cdot 32 = -448 \] Теперь, когда мы нашли \( a \) и \( q \), можем вычислить первые четыре члена прогрессии: \[ b_1 = a = -448 \] \[ b_2 = a \cdot q = -448 \cdot \frac{1}{2} = -224 \] \[ b_3 = a \cdot q^2 = -448 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = -448 \cdot \frac{1}{4} = -112 \] \[ b_4 = a \cdot q^3 = -448 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = -448 \cdot \frac{1}{8} = -56 \] Теперь давайте найдем сумму первых четырех членов: \[ S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 \] \[ S_4 = -448 - 224 - 112 - 56 \] Теперь сложим эти числа: \[ S_4 = -448 - 224 = -672 \] \[ S_4 = -672 - 112 = -784 \] \[ S_4 = -784 - 56 = -840 \] Таким образом, сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна \( \boxed{-840} \).