1. Точка движется по координатной прямой, ее скорость задана формулой = 6t ^ 2 - 4t + 1 1 время движения. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени t = 2…

Давайте разберем каждую из задач по очереди.

Задача 1

Условие: Точка движется по координатной прямой, её скорость задана формулой \( v(t) = 6t^2 - 4t + 1 \). Необходимо найти закон движения, если в момент времени \( t = 2 \) координата точки равнялась 25.

Решение:

1. Находим закон движения: Закон движения можно получить, интегрировав функцию скорости. Сначала найдем интеграл от функции скорости: \[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int (6t^2 - 4t + 1) \, dt \]

   Интегрируем каждое слагаемое: \[ s(t) = 6 \cdot \frac{t^3}{3} - 4 \cdot \frac{t^2}{2} + t + C = 2t^3 - 2t^2 + t + C \]

   где \( C \) — произвольная константа.

2. Найдем постоянную \( C \): Используем условие, что в момент времени \( t = 2 \) координата \( s(2) = 25 \): \[ s(2) = 2(2)^3 - 2(2)^2 + 2 + C \] \[ s(2) = 2 \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 2 + C = 16 - 8 + 2 + C = 10 + C \] Ставим равно к 25: \[ 10 + C = 25 \implies C = 15 \]

3. Итак, закон движения: \[ s(t) = 2t^3 - 2t^2 + t + 15 \]

Задача 2

Условие: Вычислите интеграл \( \int_1^2 (x - 3x^2) \, dx \).

Решение:

1. Находим определенный интеграл: Прежде всего, вычислим неопределенный интеграл: \[ \int (x - 3x^2) \, dx = \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^2}{2} - x^3 + C \]

2. Вычисляем интеграл от 1 до 2: \[ \int_1^2 (x - 3x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x^3 \right]_1^2 \] Подставим границы: \[ = \left( \frac{2^2}{2} - 2^3 \right) - \left( \frac{1^2}{2} - 1^3 \right) \] \[ = \left( \frac{4}{2} - 8 \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) \] \[ = (2 - 8) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) \] \[ = -6 - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = -6 - \left( -\frac{1}{2} \right) = -6 + \frac{1}{2} = -\frac{12}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{11}{2} \]

Итак, значение интеграла: \[ \int_1^2 (x - 3x^2) \, dx = -\frac{11}{2} \]

Задача 3

Условие: Прямолинейное движение тела изменяется \( v = 9t^2 - 2t \). Вычислите путь, пройденный телом за 3 секунды от начала.

Решение:

1. Темп движения \( v(t) \): Нам дана скорость, теперь находим путь по аналогии с задачей 1. \[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int (9t^2 - 2t) \, dt = 3t^3 - t^2 + C \]

2. Путь за 3 секунды: Подставим, скажем, что в момент времени \( t = 0 \) тело начинало с нуля, тогда \( s(0) = 0 \) следовательно, \( C = 0 \). Тогда закон движения: \[ s(t) = 3t^3 - t^2 \] Находим путь за 3 секунды: \[ s(3) = 3(3^3) - (3^2) = 3(27) - 9 = 81 - 9 = 72 \] Таким образом, путь, пройденный телом за 3 секунды, равен 72.

Задача 4

Условие: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: \( y = x^3 + 2 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = 2 \).

Решение:

1. Нахождение точки пересечения с осью \( x \): Установим, когда \( y = 0 \): \[ x^3 + 2 = 0 \implies x^3 = -2 \] Не имеет решений в заданных пределах, т.к. \( x \) должен быть неотрицательным.

2. Область интегрирования: Мы ищем интеграл от кривой \( y = x^3 + 2 \) от \( x = 0 \) до \( x = 2 \): \[ \text{Площадь} = \int_0^2 (x^3 + 2) \, dx \]

3. Вычисляем интеграл: \[ = \int_0^2 x^3 \, dx + \int_0^2 2 \, dx \] \[ = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 + \left[ 2x \right]_0^2 \] \[ = \left[ \frac{2^4}{4} - 0 \right] + \left[ 2 \cdot 2 - 0 \right] \] \[ = \frac{16}{4} + 4 = 4 + 4 = 8 \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 8.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно помочь с другими задачами, дайте знать!