1. Точка движется по координатной прямой, ее скорость задана формулой = 6t ^ 2 - 4t + 1 1 время движения. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени t = 2 координата точки равнялась числу 25.
2. Вычислите интеграл 3. Скорость integrate (x - 3x ^ 2) dx from 1 to 2
прямолинейного движения тела изменяется v = 9t ^ 2 - 2t(M/c) по закону Вычислите путь, пройденный телом за 3 с от начала
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x ^ 3 + 2 y = 0 x = 0 x = 2
Давайте разберем каждую из задач по очереди.
### Задача 1
**Условие:** Точка движется по координатной прямой, её скорость задана формулой \( v(t) = 6t^2 - 4t + 1 \). Необходимо найти закон движения, если в момент времени \( t = 2 \) координата точки равнялась 25.
**Решение:**
1. **Находим закон движения:**
Закон движения можно получить, интегрировав функцию скорости. Сначала найдем интеграл от функции скорости:
\[
s(t) = \int v(t) \, dt = \int (6t^2 - 4t + 1) \, dt
\]
Интегрируем каждое слагаемое:
\[
s(t) = 6 \cdot \frac{t^3}{3} - 4 \cdot \frac{t^2}{2} + t + C = 2t^3 - 2t^2 + t + C
\]
где \( C \) — произвольная константа.
2. **Найдем постоянную \( C \):**
Используем условие, что в момент времени \( t = 2 \) координата \( s(2) = 25 \):
\[
s(2) = 2(2)^3 - 2(2)^2 + 2 + C
\]
\[
s(2) = 2 \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 2 + C = 16 - 8 + 2 + C = 10 + C
\]
Ставим равно к 25:
\[
10 + C = 25 \implies C = 15
\]
3. **Итак, закон движения:**
\[
s(t) = 2t^3 - 2t^2 + t + 15
\]
### Задача 2
**Условие:** Вычислите интеграл \( \int_1^2 (x - 3x^2) \, dx \).
**Решение:**
1. **Находим определенный интеграл:**
Прежде всего, вычислим неопределенный интеграл:
\[
\int (x - 3x^2) \, dx = \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^2}{2} - x^3 + C
\]
2. **Вычисляем интеграл от 1 до 2:**
\[
\int_1^2 (x - 3x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x^3 \right]_1^2
\]
Подставим границы:
\[
= \left( \frac{2^2}{2} - 2^3 \right) - \left( \frac{1^2}{2} - 1^3 \right)
\]
\[
= \left( \frac{4}{2} - 8 \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right)
\]
\[
= (2 - 8) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right)
\]
\[
= -6 - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = -6 - \left( -\frac{1}{2} \right) = -6 + \frac{1}{2} = -\frac{12}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{11}{2}
\]
Итак, значение интеграла:
\[
\int_1^2 (x - 3x^2) \, dx = -\frac{11}{2}
\]
### Задача 3
**Условие:** Прямолинейное движение тела изменяется \( v = 9t^2 - 2t \). Вычислите путь, пройденный телом за 3 секунды от начала.
**Решение:**
1. **Темп движения \( v(t) \):**
Нам дана скорость, теперь находим путь по аналогии с задачей 1.
\[
s(t) = \int v(t) \, dt = \int (9t^2 - 2t) \, dt = 3t^3 - t^2 + C
\]
2. **Путь за 3 секунды:**
Подставим, скажем, что в момент времени \( t = 0 \) тело начинало с нуля, тогда \( s(0) = 0 \) следовательно, \( C = 0 \).
Тогда закон движения:
\[
s(t) = 3t^3 - t^2
\]
Находим путь за 3 секунды:
\[
s(3) = 3(3^3) - (3^2) = 3(27) - 9 = 81 - 9 = 72
\]
Таким образом, путь, пройденный телом за 3 секунды, равен 72.
### Задача 4
**Условие:** Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: \( y = x^3 + 2 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = 2 \).
**Решение:**
1. **Нахождение точки пересечения с осью \( x \):**
Установим, когда \( y = 0 \):
\[
x^3 + 2 = 0 \implies x^3 = -2
\]
Не имеет решений в заданных пределах, т.к. \( x \) должен быть неотрицательным.
2. **Область интегрирования:**
Мы ищем интеграл от кривой \( y = x^3 + 2 \) от \( x = 0 \) до \( x = 2 \):
\[
\text{Площадь} = \int_0^2 (x^3 + 2) \, dx
\]
3. **Вычисляем интеграл:**
\[
= \int_0^2 x^3 \, dx + \int_0^2 2 \, dx
\]
\[
= \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 + \left[ 2x \right]_0^2
\]
\[
= \left[ \frac{2^4}{4} - 0 \right] + \left[ 2 \cdot 2 - 0 \right]
\]
\[
= \frac{16}{4} + 4 = 4 + 4 = 8
\]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 8.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно помочь с другими задачами, дайте знать!
