Решить систему уравнений
Давайте решим данную систему уравнений:
\[ \begin{cases} x^2 - 4y^2 = 0 \\ xy + x^2 = 6 \end{cases} \]
Шаг 1: Решение первого уравнения.
Первое уравнение:
\[ x^2 - 4y^2 = 0 \]
Это уравнение можно переписать как:
\[ x^2 = 4y^2 \]
Разделим обе стороны на \(y^2\) (при условии, что \(y \neq 0\)):
\[ \left(\frac{x}{y}\right)^2 = 4 \]
Отсюда:
\[ \frac{x}{y} = \pm 2 \]
Значит, \(x = 2y\) или \(x = -2y\).
Шаг 2: Подставляем в второе уравнение.
Рассмотрим сначала \(x = 2y\).
Подставляем в второе уравнение:
\[ 2y \cdot y + (2y)^2 = 6 \]
Получаем:
\[ 2y^2 + 4y^2 = 6 \]
\[ 6y^2 = 6 \]
\[ y^2 = 1 \]
Следовательно, \(y = \pm 1\).
Для \(y = 1\), \(x = 2 \cdot 1 = 2\).
Для \(y = -1\), \(x = 2 \cdot (-1) = -2\).
Теперь рассмотрим \(x = -2y\).
Подставляем во второе уравнение:
\[ -2y \cdot y + (-2y)^2 = 6 \]
Получаем:
\[ -2y^2 + 4y^2 = 6 \]
\[ 2y^2 = 6 \]
\[ y^2 = 3 \]
Следовательно, \(y = \pm \sqrt{3}\).
Для \(y = \sqrt{3}\), \(x = -2 \cdot \sqrt{3} = -2\sqrt{3}\).
Для \(y = -\sqrt{3}\), \(x = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\).
Таким образом, система уравнений имеет решения:
- \( (x, y) = (2, 1) \)
- \( (x, y) = (-2, -1) \)
- \( (x, y) = (-2\sqrt{3}, \sqrt{3}) \)
- \( (x, y) = (2\sqrt{3}, -\sqrt{3}) \)
