Давайте решим данную систему уравнений:
[
\begin{cases}
x^2 - 4y^2 = 0 \
xy + x^2 = 6
\end{cases}
]
Шаг 1: Решение первого уравнения.
Первое уравнение:
[
x^2 - 4y^2 = 0
]
Это уравнение можно переписать как:
[
x^2 = 4y^2
]
Разделим обе стороны на (y^2) (при условии, что (y \neq 0)):
[
\left(\frac{x}{y}\right)^2 = 4
]
Отсюда:
[
\frac{x}{y} = \pm 2
]
Значит, (x = 2y) или (x = -2y).
Шаг 2: Подставляем в второе уравнение.
Рассмотрим сначала (x = 2y).
Подставляем в второе уравнение:
[
2y \cdot y + (2y)^2 = 6
]
Получаем:
[
2y^2 + 4y^2 = 6
]
[
6y^2 = 6
]
[
y^2 = 1
]
Следовательно, (y = \pm 1).
Для (y = 1), (x = 2 \cdot 1 = 2).
Для (y = -1), (x = 2 \cdot (-1) = -2).
Теперь рассмотрим (x = -2y).
Подставляем во второе уравнение:
[
-2y \cdot y + (-2y)^2 = 6
]
Получаем:
[
-2y^2 + 4y^2 = 6
]
[
2y^2 = 6
]
[
y^2 = 3
]
Следовательно, (y = \pm \sqrt{3}).
Для (y = \sqrt{3}), (x = -2 \cdot \sqrt{3} = -2\sqrt{3}).
Для (y = -\sqrt{3}), (x = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}).
Таким образом, система уравнений имеет решения:
- ( (x, y) = (2, 1) )
- ( (x, y) = (-2, -1) )
- ( (x, y) = (-2\sqrt{3}, \sqrt{3}) )
- ( (x, y) = (2\sqrt{3}, -\sqrt{3}) )
