В равнобедренном треугольнике ( ABC ) с основанием ( AC ) пусть ( AB = BC ). Обозначим углы при основании как ( \alpha ) (углы ( \angle CAB ) и ( \angle ABC )). Соответственно, угол при вершине ( B ) будет равен ( \beta = \angle ACB ).
Так как сумма углов треугольника равна ( 180^\circ ), можно записать:
[
2\alpha + \beta = 180^\circ
]
Теперь, когда из вершин ( A ) и ( B ) проведены высоты, они пересекаются в точке ( H ) (например), и угол между ними равен ( 100^\circ ).
Поскольку высоты в равнобедренном треугольнике делят углы пополам, можно записать:
[
\angle AHB = 180^\circ - \alpha - \beta/2 - \alpha
]
Зная, что ( \angle AHB = 100^\circ ), мы имеем:
[
\angle AHB = 180^\circ - 2\alpha = 100^\circ
]
Тогда:
[
180^\circ - 100^\circ = 2\alpha
]
[
80^\circ = 2\alpha
]
[
\alpha = 40^\circ
]
Теперь найдем угол ( \beta ):
[
2\alpha + \beta = 180^\circ
]
[
2 \cdot 40^\circ + \beta = 180^\circ
]
[
80^\circ + \beta = 180^\circ
]
[
\beta = 100^\circ
]
Таким образом, углы треугольника ( ABC ) равны:
[
\alpha = 40^\circ, \quad \angle ACB = 100^\circ
]
Итак, углы треугольника:
- ( \angle CAB = 40^\circ )
- ( \angle ABC = 40^\circ )
- ( \angle ACB = 100^\circ )
