1. Отрезки АВ, CD и EFпропорциональны дру-гу. Найдите EF, если AB = 5 см, CD = 80 мм, MN = 1 дм. 1. 2. В прямоугольном треугольнике АСВ ( angle C = 90 deg ) AC = 6 см, BC = 8 см,…

Давайте разберем эти задачи по очереди.

Задача 1: Пропорциональные отрезки

У нас есть три отрезка: \( AB, CD, EF \) пропорциональны друг другу. Даны значения:

• \( AB = 5 \, \text{см} \)
• \( CD = 80 \, \text{мм} = 8 \, \text{см} \) (переведем миллиметры в сантиметры)
• \( EF = ? \)

Согласно правилу пропорций: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{EF}{MN} \] Где \( MN \) — сторонa, которую мы должны знать, но ее в задаче не указано, давайте предположим, что MN = 1 дм = 10 см.

Теперь можем подставить значения и решить:

\[ \frac{5}{8} = \frac{EF}{10} \]

Перекрестное умножение даёт:

\[ 5 \cdot 10 = 8 \cdot EF \] \[ 50 = 8 \cdot EF \]

Теперь делим обе стороны на 8:

\[ EF = \frac{50}{8} = 6.25 \, \text{см} \]

Ответ:

\( EF = 6.25 \, \text{см} \)

---

Задача 2: Прямоугольный треугольник

В треугольнике \( ACB \) угол \( C = 90^\circ \). Даны:

• \( AC = 6 \, \text{см} \)
• \( BC = 8 \, \text{см} \)
• \( CD \) - биссектрисa (необходима для нахождения отрезков).

Сначала найдем \( AB \): \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{см} \]

Теперь воспользуемся свойством биссектрисы, которое говорит, что она делит противоположную сторону в отношении двух прилежащих сторон: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]

Обозначим \( AD = 3x \) и \( DB = 4x \), тогда: \[ AD + DB = AB \implies 3x + 4x = 10 \implies 7x = 10 \implies x = \frac{10}{7} \] Теперь находим \( AD \) и \( DB \): \[ AD = 3x = 3 \cdot \frac{10}{7} = \frac{30}{7} \approx 4.29 \, \text{см} \] \[ DB = 4x = 4 \cdot \frac{10}{7} = \frac{40}{7} \approx 5.71 \, \text{см} \]

Ответы:

• \( AB = 10 \, \text{см} \)
• \( AD \approx 4.29 \, \text{см} \)
• \( DB \approx 5.71 \, \text{см} \)

---

Задача 3: Подобные треугольники

Треугольники \( ABC \) и \( DEF \) подобны. Даны:

• \( EF = 14 \)
• \( DF = 20 \)
• \( BC = 21 \)
• Нужно найти \( AC \).

Согласно свойству подобия: \[ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} \]

Поскольку у нас нет значения \( AB \) или \( DE \), можно использовать известные пропорции: \[ \frac{BC}{EF} = \frac{21}{14} = \frac{3}{2} \] Теперь используем пропорцию: \[ \frac{AC}{DF} = \frac{3}{2} \] Подставим \( DF = 20 \):

\[ \frac{AC}{20} = \frac{3}{2} \]

Перекрестное умножение дает: \[ AC \cdot 2 = 20 \cdot 3 \implies 2AC = 60 \implies AC = 30 \]

Ответ:

\( AC = 30 \)

---

Задача 4: Площади подобных треугольников

Площади треугольников \( S_1 = 16 \, \text{см}^2 \) и \( S_2 = 25 \, \text{см}^2 \). Одна сторона первого треугольника равна \( 2 \, \text{см} \). Необходимо найти сходную ей сторону второго треугольника.

Поскольку площади подобных треугольников соотносятся как квадрат сходственной стороны, используем следующую формулу: \[ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 \] Где \( a_1 = 2 \, \text{см} \), нам нужно найти \( a_2 \): \[ \frac{16}{25} = \left(\frac{2}{a_2}\right)^2 \] Взяв квадратный корень из обеих сторон, получаем: \[ \frac{4}{5} = \frac{2}{a_2} \]

Перекрестное умножение: \[ 4a_2 = 10 \implies a_2 = \frac{10}{4} = 2.5 \, \text{см} \]

Ответ:

Сходная сторона второго треугольника равна \( 2.5 \, \text{см} \).

---

Если будут дополнительные вопросы или задачи, не стесняйтесь обращаться!