Высота правильной треугольной пирамиды равна 2√3 см, а бо-ковая грань образует с основанием пирамиды угол в 60°. Найди-те площадь боковой поверхности пирамиды.

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, начнем с анализа заданной информации: 1. **Высота пирамиды (h)**: \( 2\sqrt{3} \) см. 2. **Угол между боковой гранью и основанием (α)**: \( 60° \). ### Шаг 1: Найдем длину боковой грани Мы знаем, что угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен \( 60° \). В правом треугольнике, образованном высотой пирамиды, наклонной боковой гранью и проекцией этой грань на основание, можем использовать отношение сторон. Пусть \( l \) — длина боковой грани. В этом треугольнике высота является противолежащей стороной, а проекция боковой грани на основание будет прилежащей стороной. Используем тангенс угла для нахождения прилежащей стороны: \[ \tan(60°) = \frac{h}{\text{прилежащая сторона}}. \] Зная, что \( \tan(60°) = \sqrt{3} \), подставляем: \[ \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{\text{прилежащая сторона}}. \] Решим это уравнение для прилежащей стороны: \[ \text{прилежащая сторона} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \text{ см}. \] ### Шаг 2: Найдем длину боковой грани \( l \) Боковая грань образует с высотой и проекцией на основание прямоугольный треугольник, в котором: - противолежащая сторона (высота) = \( 2\sqrt{3} \) см, - прилежащая сторона = 2 см. Теперь мы знаем, что можем использовать синус 60° для нахождения длины боковой грани: \[ \sin(60°) = \frac{h}{l}. \] Подставим известные значения: \[ \sin(60°) = \frac{2\sqrt{3}}{l}. \] Так как \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{l}. \] Теперь решим это уравнение для \( l \): \[ l = \frac{2\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 4 \text{ см}. \] ### Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды состоит из трех равных треугольников, каждый из которых имеет основание равное стороне основания треугольника пирамиды и высоту, равную длине боковой грани. Сначала найдем сторону основания треугольника. Скорее всего, это равносторонний треугольник, поэтому его сторона равна \( 2 \cdot 2 = 4 \) см (где 2 см — это высота от центра к основанию). Площадь одного бокового треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}, \] где основание — это сторона основания, а высота — это длина боковой грани: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 \text{ см}^2. \] Теперь, так как у нас три таких треугольника, общая площадь боковой поверхности будет: \[ S_{бок} = 3 \cdot S = 3 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2. \] ### Ответ: Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна **24 см²**.