Высота правильной треугольной пирамиды равна 2√3 см, а бо-ковая грань образует с основанием пирамиды угол в 60°. Найди-те площадь боковой поверхности пирамиды.
Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, начнем с анализа заданной информации:
- Высота пирамиды (h): \( 2\sqrt{3} \) см.
- Угол между боковой гранью и основанием (α): \( 60° \).
Шаг 1: Найдем длину боковой грани
Мы знаем, что угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен \( 60° \). В правом треугольнике, образованном высотой пирамиды, наклонной боковой гранью и проекцией этой грань на основание, можем использовать отношение сторон.
Пусть \( l \) — длина боковой грани. В этом треугольнике высота является противолежащей стороной, а проекция боковой грани на основание будет прилежащей стороной.
Используем тангенс угла для нахождения прилежащей стороны:
\[ \tan(60°) = \frac{h}{\text{прилежащая сторона}}. \] Зная, что \( \tan(60°) = \sqrt{3} \), подставляем:
\[ \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{\text{прилежащая сторона}}. \] Решим это уравнение для прилежащей стороны:
\[ \text{прилежащая сторона} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \text{ см}. \]
Шаг 2: Найдем длину боковой грани \( l \)
Боковая грань образует с высотой и проекцией на основание прямоугольный треугольник, в котором:
- противолежащая сторона (высота) = \( 2\sqrt{3} \) см,
- прилежащая сторона = 2 см.
Теперь мы знаем, что можем использовать синус 60° для нахождения длины боковой грани:
\[ \sin(60°) = \frac{h}{l}. \]
Подставим известные значения:
\[ \sin(60°) = \frac{2\sqrt{3}}{l}. \] Так как \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \):
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{l}. \] Теперь решим это уравнение для \( l \):
\[ l = \frac{2\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 4 \text{ см}. \]
Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды состоит из трех равных треугольников, каждый из которых имеет основание равное стороне основания треугольника пирамиды и высоту, равную длине боковой грани.
Сначала найдем сторону основания треугольника. Скорее всего, это равносторонний треугольник, поэтому его сторона равна \( 2 \cdot 2 = 4 \) см (где 2 см — это высота от центра к основанию).
Площадь одного бокового треугольника вычисляется по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}, \] где основание — это сторона основания, а высота — это длина боковой грани:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 \text{ см}^2. \]
Теперь, так как у нас три таких треугольника, общая площадь боковой поверхности будет:
\[ S_{бок} = 3 \cdot S = 3 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2. \]
Ответ:
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 24 см².
