У малыша Грогу есть 10 черных и 8 белых шариков (с виду черные и былые шарики одинаковые. Сколькими способами их можно выложить в ряд так, чтобы никакие два белых шарика не лежали…
У малыша Грогу есть 10 черных и 8 белых шариков (с виду черные и былые шарики одинаковые. Сколькими способами их можно выложить в ряд так, чтобы никакие два белых шарика не лежали рядом? (Если нужно, при вычислениях можно воспользоваться калькулятором)
Для решения задачи о выложении шариков в ряд так, чтобы белые шарики не лежали рядом, мы можем воспользоваться подходом, основанным на комбинаторике. Давайте решим задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Понимание задачи
У нас есть 10 черных (Ч) и 8 белых (Б) шариков. Мы должны выложить их в ряд так, чтобы не было двух белых шариков рядом.
Шаг 2: Расставим черные шарики
Сначала мы расставим черные шарики. Поскольку у нас 10 черных шариков, мы можем выложить их в ряд, создав следующие позиции:
Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч
Когда мы расставим 10 черных шариков, между ними и по краям будет 11 позиций (щелей), где можно вставлять белые шарики:
_ Ч _ Ч _ Ч _ Ч _ Ч _ Ч _ Ч _ Ч _ Ч _ Ч _
Шаг 3: Размещение белых шариков
Теперь у нас есть 11 позиций для размещения 8 белых шариков. Нам нужно выбрать 8 из этих 11 позиций, при этом важно, чтобы в одной позиции мог находиться только один белый шарик.
Шаг 4: Выбор позиций
Количество способов выбрать 8 позиций из 11 можно вычислить с помощью сочетаний (комбинаций). Формула для вычисления сочетаний выглядит так:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]
где:
- \( n \) — общее количество элементов (в нашем случае 11 позиций),
- \( k \) — количество выбираемых элементов (в нашем случае 8 белых шариков).
Шаг 5: Подставим значения
В нашем случае:
- \( n = 11 \),
- \( k = 8 \).
Подставим значения в формулу:
\[ C(11, 8) = C(11, 3) = \frac{11!}{3!(11 - 3)!} = \frac{11!}{3! \cdot 8!} \]
Шаг 6: Вычислим
Теперь нужно вычислить это сочетание.
Вычисляем факториалы:
- \( 11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8! \) (здесь 8! сократится)
- \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
Подставим и сократим: \[ C(11, 3) = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = \frac{990}{6} = 165 \]
Ответ
Таким образом, количество способов выложить 10 черных и 8 белых шариков в ряд так, чтобы никакие два белых шарика не лежали рядом, составляет 165.
