(4x+1)(x-2)>-5 решите неравенство

Чтобы решить неравенство \((4x + 1)(x - 2) > -5\), начнем с того, что приведем его к стандартному виду.

1. Переносим \(-5\) влево, получаем: \[ (4x + 1)(x - 2) + 5 > 0 \]

2. Раскроем скобки: \[ 4x^2 - 8x + x - 2 + 5 > 0 \] Упрощаем: \[ 4x^2 - 7x + 3 > 0 \]

3. Теперь найдем корни квадратного уравнения \(4x^2 - 7x + 3 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1 \]

4. Находим корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{8} = 1, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{8} = \frac{3}{4} \]

5. Теперь мы имеем два корня: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = \frac{3}{4}\).

6. Далее, определим знаки выражения \(4x^2 - 7x + 3\) на интервалах, которые определяются корнями:

   • Интервал \((- \infty, \frac{3}{4})\)
   • Интервал \((\frac{3}{4}, 1)\)
   • Интервал \((1, +\infty)\)

7. Проверяем знак на каждом из интервалов:

   • Для \(x < \frac{3}{4}\) (например, \(x = 0\)): \(4(0^2) - 7(0) + 3 = 3 > 0\)
   • Для \(\frac{3}{4} < x < 1\) (например, \(x = 0.9\)): \(4(0.9^2) - 7(0.9) + 3\) (примерно \(0.36 - 6.3 + 3 < 0\))
   • Для \(x > 1\) (например, \(x = 2\)): \(4(2^2) - 7(2) + 3 = 16 - 14 + 3 = 5 > 0\)

8. Таким образом, выражение \(4x^2 - 7x + 3\) больше нуля в интервалах: \[ (-\infty, \frac{3}{4}) \cup (1, +\infty) \]

9. Учитывая, что неравенство строгое (>), корни не входят в множества решения.

Итак, окончательный ответ: \[ x \in (-\infty, \frac{3}{4}) \cup (1, +\infty) \]