(4x+1)(x-2)>-5 решите неравенство

Чтобы решить неравенство \((4x + 1)(x - 2) > -5\), начнем с того, что приведем его к стандартному виду. 1. Переносим \(-5\) влево, получаем: \[ (4x + 1)(x - 2) + 5 > 0 \] 2. Раскроем скобки: \[ 4x^2 - 8x + x - 2 + 5 > 0 \] Упрощаем: \[ 4x^2 - 7x + 3 > 0 \] 3. Теперь найдем корни квадратного уравнения \(4x^2 - 7x + 3 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1 \] 4. Находим корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{8} = 1, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{8} = \frac{3}{4} \] 5. Теперь мы имеем два корня: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = \frac{3}{4}\). 6. Далее, определим знаки выражения \(4x^2 - 7x + 3\) на интервалах, которые определяются корнями: - Интервал \((- \infty, \frac{3}{4})\) - Интервал \((\frac{3}{4}, 1)\) - Интервал \((1, +\infty)\) 7. Проверяем знак на каждом из интервалов: - Для \(x < \frac{3}{4}\) (например, \(x = 0\)): \(4(0^2) - 7(0) + 3 = 3 > 0\) - Для \(\frac{3}{4} < x < 1\) (например, \(x = 0.9\)): \(4(0.9^2) - 7(0.9) + 3\) (примерно \(0.36 - 6.3 + 3 < 0\)) - Для \(x > 1\) (например, \(x = 2\)): \(4(2^2) - 7(2) + 3 = 16 - 14 + 3 = 5 > 0\) 8. Таким образом, выражение \(4x^2 - 7x + 3\) больше нуля в интервалах: \[ (-\infty, \frac{3}{4}) \cup (1, +\infty) \] 9. Учитывая, что неравенство строгое (>), корни не входят в множества решения. Итак, окончательный ответ: \[ x \in (-\infty, \frac{3}{4}) \cup (1, +\infty) \]